Media generalizada

Construcción geométrica para hallar las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números a y b.

La media generalizada es una abstracción de los diversos tipos de media (geométrica, aritmética, armónica, etc). Se define como:​

$M_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{cases}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}\right)^{\frac {1}{m}}&{\mbox{si}}\,m\not =0\\\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}&{\mbox{si}}\,m=0\end{cases}}$

En donde ciertos valores del parámetro m se corresponden con otro tipo de medias:

$M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\max(x_{1},\dots ,x_{n})$

$M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})=$ media cuadrática

$M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=$ media aritmética

$M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=$ media geométrica

$M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})=$ media armónica

$M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\min(x_{1},\dots ,x_{n})$

Definición

Sea $x$ una variable discreta que asume los $n$ valores positivos

$x_{1},x_{2},...x_{n}$

, el número

$c_{\beta }=({\frac {x_{1}^{\beta }+x_{2}^{\beta }...+x_{n}^{\beta }}{n}})^{\frac {1}{\beta }}$

se denomina media potencial de grado $\beta$ de los números $x_{1},x_{2},...x_{n}$. En particular, el número​

$c_{1}={\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}$

es la media aritmética de los mencionados números; en especial, el número

$c_{2}=({\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...x_{n}^{2}}{n}})^{\frac {1}{2}}$

se llama media cuadrática;,​ finalmente, el número

$c_{-1}=({\frac {x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+...x_{n}^{-1}}{n}})^{-1}$

se denomina media armónica de los números $x_{1},x_{2},...x_{n}$.

Desde un punto de vista formal, no hay restricción para el valor del grado $\beta$, de modo que puede asumir cualquier valor real

$-\infty <\beta <+\infty$

Y el valor de x debe ser positivo.​

Proposiciones

Comparación con la media geométrica

Si $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ son números positivos y, a su vez, $k<0<l$ entonces se cumple

$c_{k}\leq G\leq c_{l}$

donde G es la media geométrica; Obsérvese que la media potencial de grado negativo no excede a la media geométrica y que la media potencial de grado positivo no es menor que la media geométrica.

Producto versus suma de n-ésinas potencias

Dado los números positivos x₁, x₂,..., x_n se cumple que

nx₁ x₂... x_n ≤ x₁ⁿ + x₂ⁿ + x_nⁿ​

Monotonía de la media potencial respecto al grado

Si x₁, x₂,..., x_n son números posiivos y m < p, se tiene C _m≤ C_p. Ocurre la igualdad C _m = C_p únicamente si

x₁ = x₂ =... = x_n.

Relación de orden entre diversas medias potenciales

Si se asume que la media geométrica g sea definida como "media potencial de grado cero" y se denota g = c₀, se tiene la siguiente sucesión​

c_-1 ≤ c₀ ≤ c₁ ≤ c₂

Propiedades

$M_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{j}(x_{1},\dots ,x_{n}){\mbox{ si }}\,i<j$

Para $x_{1},\dots ,x_{n}{\mbox{ fijos: }}M(m)=M_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})$ es continua respecto a $m\in \mathbb {R}$. Obsérvese que para valores de $m\leq 0$ la expresión solo tiene sentido si todos los $x_{i}\geq 0$.

El concepto de media generalizada también puede servir para definir otros más amplios.​

Aplicaciones

Media geométrica

En el caso de dos pesos aproximados de una cosa, se aplica la media geométrica. Si hay dos pesadas para el mismo objeto que dan 1,085 kg y 0.995. Se halla el la media geométrica, g = 1.034, aproximado a gramos ( o milésimos)

Radio promedio

Se conocen las medidas de los radios de 4 círculos que son 6, 8, 11 y 15 cm respectivamente. Hállese el radio de círculo cuya área sea el promedio de las áreas circulares propuestas.​

Sean r₁= 6, r₂ = 8, r₃ = 11 y r₄ = 15.

Se aplica la media cuadrática

$r_{m}={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2}}{4}}}$

y para los valores respectivos resulta el valor del radio:

$r_{m}=10.56$

lo que difiere de la media aritmética de los radios que sería

$r_{a}=10$

Medida promedial de arista

Se conocen las medidas de las aristas de 3 cubos que son 8, 10 y 12. Hállese la medida de un cubo que represente el volumen promedio de los cubos dados.​

Sean a₁ = 8, a₂ = 10 y a₃ = 12

En este caso se va a aplicar la media potencial de grado 3

$a_{m}={\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}}{3}}}$

y con los valores propuestos resulta la medida de la arista:

$a_{m}=10.26$

resultado diferente a la media aritmética de las medidas de las aristas que sería

$a=10$

Velocidad promedio

Si una canoa va en un río, aguas abajo, a la velocidad de $40\;\mathrm {km/h}$ y aguas arriba a la velocidad de $25\;\mathrm {km/h}$, hallar la velocidad promedio. En este caso aplicamos la fórmula del promedio armónico para los valores $v_{1}=40,v_{2}=25$,

$v_{p}=({\frac {v_{1}^{-1}+v_{2}^{-1}}{2}})^{-1}$

, para los datos dados, resulta $v_{p}=30{,}77\mathrm {~km/h}$ distinto al promedio aritmético ${\frac {40+25}{2}}=32{,}5\mathrm {~km/h}$.

Véase también

• Media aritmética
• Media armónica
• Media cuadrática
• Media geométrica
• Media heroniana

Notas y referencias

Bibliografía

Korovkin. Desigualdades. Ediciones Mir, Moscú.

• Datos: Q855729