Elemento supremo e ínfimo

En teoría de los números reales, el supremo de un conjunto es la menor de las cotas superiores de un conjunto acotado superiormente.

Definición

Sea $\Omega$ un conjunto no vacío entre cuyos elementos hay definida una relación de orden $\leq$; sea $A\subset \Omega$ un subconjunto acotado superiormente y sea $C^{+}\subset \Omega$ el conjunto de las cotas superiores de $A$. El supremo de $A$ (denotado por sup(A)) es la menor de las cotas superiores (en otras palabras: $s\in C^{+}$ es supremo de $A$ si $s\leq c$ para todo $c\in C^{+}$).

Si $A$ está acotado inferiormente y $C^{-}\subset \Omega$ es el conjunto de las cotas inferiores, se dice que $s\in C^{-}$ es ínfimo de $A$ (denotado por inf(A)) si es la mayor de las cotas inferiores (en otras palabras: $s\in C^{-}$ es ínfimo de $A$ si $s\geq c$ para todo $c\in C^{-}$). Todo lo que vale para el supremo vale para el ínfimo si se invierte la relación de orden.

Propiedades

• El supremo de un conjunto es siempre una cota superior del mismo, pero no tiene por qué pertenecer a él. Cuando lo hace, se denomina máximo (lo mismo para el ínfimo, y entonces se denomina mínimo).

• Un conjunto acotado superiormente no tiene por qué tener supremo. Por ejemplo, si $\mathbb {Q}$ denota el conjunto de los números racionales, y definimos $A=\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}$, entonces $C=\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}>2\}$ es el conjunto de todas sus cotas superiores. Pero no hay ningún elemento $s\in C$ que verifique la definición de supremo: elijamos el que elijamos, siempre habrá otro elemento de $C$ menor que él. (En este ejemplo, el supremo de $A$ es el número que denotamos ${\sqrt {2}},$ que no es racional, sino irracional. Es necesario ampliar el conjunto de los números racionales con los números irracionales dando lugar a $\mathbb {R}$, el conjunto de los números reales, para que todo conjunto acotado superiormente tenga un supremo.)

Ejemplos

$\sup\{1,2,3\}=3\,$

$\sup\{x\in \mathbb {R} /0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1\,$

$\sup\{x\in \mathbb {Q} /x^{2}<2\}={\sqrt {2}}\,$

$\sup\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}/n\in \mathbb {N} \}=1\,$

$\sup \mathbb {Z} =\infty \,$

$\sup\{a+b/a\in A{\mbox{ y }}b\in B\}=\sup(A)+\sup(B)\,$