Elemento neutro

En Álgebra abstracta, si tenemos conjunto $A\,$ en el que se ha definido una operación matemática $\circ$, que anotamos: $(A,\circ )\,$, siendo la operación $\circ$, interna en $A\,$:

$\forall a,b\in A:\quad a\circ b\in A$

Diremos que la operación $(A,\circ )\,$ tiene elemento neutro por la derecha e si:

$\forall a\in A,\quad \exists e\in A:\quad a\circ e=a$

Diremos que la operación $(A,\circ )\,$ tiene elemento neutro por la izquierda e si:

$\forall a\in A,\quad \exists e\in A:\quad e\circ a=a$

Y diremos que la operación $(A,\circ )\,$ tiene elemento neutro e si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda:

$\forall a\in A,\quad \exists e\in A:\quad e\circ a=a\circ e=a$

Ejemplo

Partiendo del conjunto $N\,$ de los números naturales y de la operación matemática suma: $+\,$, que anotamos: $(N,+\,)\,$, que es una operación interna:

$\forall a,b\in N:\quad a+b\in N$

La operación $(N,+\,)\,$ tiene elemento neutro por la derecha 0 si:

$\forall a\in N,\quad \exists 0\in N:\quad a+0=a$

y la operación $(N,+\,)\,$ tiene elemento neutro por la izquierda 0 si:

$\forall a\in N,\quad \exists 0\in N:\quad 0+a=a$

entonces la operación $(N,+\,)\,$ tiene elemento neutro 0 al serlo por la derecha y por la izquierda:

$\forall a\in N,\quad \exists 0\in N:\quad 0+a=a+0=a$

Véase también

Conjunto

Operación matemática

Estructura algebraica