Producto escalar

En matemáticas el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto, es una operación definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado es una magnitud escalar.

Un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial sobre el que se ha definido un producto escalar. Si el espacio es de dimensión finita se trata de un espacio euclídeo.

Definición para espacios euclídeos reales

A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo $\theta$ que forman. El resultado es siempre una magnitud escalar. Se representa por un punto centrado:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta =A\,B\,\cos \theta$

Siendo esta definición de naturaleza puramente geométrica, es independiente del sistema de coordenadas elegido. El producto escalar de dos vectores es un número (escalar) y, si ninguno de los vectores es nulo, dicho producto será un número positivo, nulo o negativo, según que el ángulo formado por los dos vectores (0≤θ≤π) sea agudo, recto u obtuso.

Puesto que A cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es A cos θ = proy A_B, será

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =B\left({\text{proy}}_{B}A\right)$

de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Propiedades del producto escalar

1. Conmutativa:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A}$

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

$\mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \cdot \mathbf {C}$

3. Asociativa respecto al producto por un escalar m:

$m(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(m\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot (m\mathbf {B} )$

4. Ya que $(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\cdot \mathbf {C} \,$ no se ha definido (el signo $\cdot \,$ se usa sólo entre vectores) la propiedad asociativa no ha lugar a considerarla. Obsérvese, sin embargo, que en general es

$(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C} \neq \mathbf {A} (\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )\,$

5. Si los vectores son ortogonales, su producto escalar es nulo (cos 90º = 0), y viceversa

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =0\,$

Esta relación expresa la condición de perpendicularidad entre dos vectores. Obsérvese, que el producto escalar de dos vectores puede ser nulo sin que lo sean uno ni otro vector.

6. En particular, para los vectores unitarios cartesianos tenemos:

$\mathbf {i} \cdot \mathbf {i} =\mathbf {j} \cdot \mathbf {j} =\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} =1\,$

$\mathbf {i} \cdot \mathbf {j} =\mathbf {j} \cdot \mathbf {k} =\mathbf {k} \cdot \mathbf {i} =0\,$

7. Expresión analítica del producto escalar:

Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, o sea,

$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} \,$

$\mathbf {B} =B_{x}\mathbf {i} +B_{y}\mathbf {j} +B_{z}\mathbf {k} \,$

entonces, teniendo en cuenta las propiedades anteriores, se tiene

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}\,$

de modo que el producto escalar de dos vectores es igual a la suma de los productos de las componentes cartesianas rectangulares correspondientes.

Con notación matricial, expresamos los vectores en forma de vector fila y de vector columna, el producto escalar queda definido como el producto matricial de ambas matrices:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B_{x}\\B_{y}\\B_{z}\\\end{bmatrix}}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}\,$

8. El módulo del vector $\mathbf {A} \,$ es:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =A^{2}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}\,$

o sea

$A={\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}\,$

9. Ángulo formado por dos vectores: De la definición del producto escalar se sigue la expresión

$\cos \theta ={\frac {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }{A\,B}}$

que nos permite determinar el ángulo formado por dos vectores dados.

10. El producto escalar de dos vectores no tienen operación inversa; esto es, si $\mathbf {A} \cdot \mathbf {X} =c\,$, no existe una solución única para $\mathbf {X} \,$. Dividir por un vector es una operación sin definir y carente de sentido.

Productos interiores definidos en espacios vectoriales

En el espacio vectorial $\mathbb {R} ^{n}$ se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...a_{n}b_{n}$

En el espacio vectorial $\mathbb {C} ^{n}$ se suele definir el producto interior por:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n})=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+...a_{n}{\overline {b_{n}}}$

En el espacio vectorial de las matrices de mxn elementos

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\operatorname {tr} (A\cdot B^{T})$

donde tr es la traza de la matriz.

En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo acotado por a y b (C[a, b])

$\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm {d} x$

Dado $\textstyle [x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n},x_{n}+1]\subseteq \mathbb {R}$ tal que $\textstyle x_{1}<x_{2}<x_{3}<...<x_{n}<x_{n}+1\,$, en el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:

$\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =p(x_{1})q(x_{1})+p(x_{2})q(x_{2})+...+p(x_{n})q(x_{n})+p(x_{n}+1)q(x_{n}+1)$

De manera similar a como se definen los productos interiores anteriores, se puede definir cualquier otro con la condición de que únicamente debe satisfacer la definición de un producto interior.

Definición general

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

Una operación $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\longrightarrow K$ donde V es el espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido, que tiene que cumplir:

1. $\langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle \,$ (lineal en el primer componente),
2. $\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$ (hermítica),
3. $\langle x,x\rangle \geq 0\,$, y $\langle x,x\rangle =0\,$ si y sólo si x = 0 (definida positiva),

donde x,y,z son vectores arbitrarios, a,b representan escalares cualesquiera y ${\overline {c}}$ es el conjugado del complejo c.

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., $\mathbb {R}$), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por $(\cdot |\cdot )$ o por $\bullet$.

Un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$ dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio euclídeo.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:

$\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$.

Referencias

Véase también

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Portal:Física. Contenido relacionado con Física.
• Espacio vectorial
• Combinación lineal
• Sistema generador
• Independencia lineal
• Matriz de Gram
• Base (álgebra)
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Coordenadas cartesianas
• Producto vectorial
• Producto mixto
• Producto tensorial

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (en inglés) (6ª edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7. 
• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3.