Inducción matemática

En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro $n$ que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

Premisa mayor: El número entero $a$ tiene la propiedad $P$.

Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero $n$ tenga la propiedad $P$ implica que $n+1$ también la tiene.

Conclusión: Todos los números enteros a partir de $a$ tienen la propiedad $P$.

Demostraciones por inducción

El razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el esquema del razonamiento es como sigue. Llamemos $P_{n}$ a la proposición, donde $n$ es el rango.

• Se demuestra que $P_{0}$, el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción), es cierta.
• Se demuestra que si se asume $P_{n}$ como cierta, entonces $P_{n+1}$ lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural $n$ (relación de inducción).

Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que $P_{n}$ es cierto para todo natural $n$.

La inducción puede empezar por otro término que $P_{0}$, digamos por $P$_{$n_{o}$}. Entonces $P_{n}$ no será válido a partir del rango $n_{0}$, es decir, para todo natural $n\geq n_{0}$.

Ejemplo sencillo

Para todo $n\geq 1$, $6^{n}$ es un número que acaba en 6.

Sea $P_{n}$ la proposición: «$6^{n}$ acaba en 6».

• Es claro que $P_{1}$ es cierto, porque $6^{1}=6$.

• Supongamos que $P_{n}$ es cierto para un valor de $n$ natural, y probemos $P_{n+1}$.

Un entero acaba por 6 si se puede escribir así: $10a+6$, con $a$ entero positivo o igual a cero. La hipótesis es, pues, $6^{n}=10a+6$.

Entonces $6^{n+1}=6(10a+6)=60a+36=60a+30+6=10(6a+3)+6=10c+6$, con $c=6a+3$, entero.

Esta última escritura prueba que $6^{n+1}$ acaba por 6, o sea que $P^{n+1}$ es cierto.

Luego $P_{n}$ es cierto para todo $n\geq 1$.

La inducción es válida por la construcción misma del conjunto de los naturales mediante los axiomas de Peano. En este caso:

• 1 es un natural;
• si $n$ lo es, entonces $n+1$ (sucesor de $n$) lo es también.

Existen otras inducciones, para otros conjuntos elaborados de forma distinta, como por ejemplo la inducción transfinita, y la inducción sobre las fórmulas de la lógica proposicional.

Además de la demostración por inducción, existe la definición o construcción por inducción. Por ejemplo, una sucesión aritmética puede ser definida como función de $n$: $u_{n}=a+rn$, o por inducción:

• $u_{0}=a$
• $u_{n+1}=u_{n}+r$.

Otro ejemplo

Véase también: Productorio

Se analiza la siguiente proposición

$\sum _{k=1}^{n}(2k-1)3^{k}=(n-1)3^{n+1}+3$ $\forall n\in \mathbb {N}$

Se analiza si es verdadera para n=1

$\sum _{k=1}^{1}(2-1)3^{1}=(1-1)3^{1+1}+3=3$

Por lo tanto la proposición es verdadera para n=1

Hipótesis inductiva

$\sum _{k=1}^{h}(2k-1)3^{k}=(h-1)3^{h+1}+3$

Tesis inductiva

$\sum _{k=1}^{h+1}(2k-1)3^{k}=(h+1-1)3^{h+1+1}+3$

$\sum _{k=1}^{h+1}(2k-1)3^{k}=h3^{h+2}+3$

Demostración

$\sum _{k=1}^{h+1}(2k-1)3^{k}=(h-1)3^{h+1}+3+[2(h+1)-1]3^{h+1}$

$\sum _{k=1}^{h+1}(2k-1)3^{k}=(h-1)3^{h+1}+3+(2h+2-1)3^{h+1}$

$\sum _{k=1}^{h+1}(2k-1)3^{k}=3^{h+1}(h-1+2h+1)+3$ (sacando factor común)

$\sum _{k=1}^{h+1}(2k-1)3^{k}=3^{h+1}3h+3$

$\sum _{k=1}^{h+1}(2k-1)3^{k}=h3^{h+2}+3$

Por lo tanto la proposición es verdadera $\forall n\in \mathbb {N}$

Véase también

• El principio de inducción