Relación binaria

En matemáticas, una relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B. Una relación de este tipo se puede representar mediante pares ordenados, $(a,b)\in A\times B$:

$R=\{(a,b):\;a\in A\land b\in B\land R(a,b)={\mbox{cierto}}\}$

Las dos proposiciones siguientes son correctas para representar una relación binaria $R\,$:

$R(a,b)\qquad {\mbox{o bien}}\qquad (a,b)\in R$

ejemplo

• Dado el conjunto R de los números reales, definimos la relación binaria P (x,y) de los puntos del plano, tal que $y=2x^{2}-3x+5$:

$P=\{(x,y):\;(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;\land \;y=2x^{2}-3x+5\}$

• Partiendo del conjunto A de los automóviles de una localidad y P de las personas, podemos definir la relación binaria C Conduce, formada por cada artomóvil a, y quien lo conduce p:

$C=\{(a,p):(a,p)\in A\times P\;\land \;a\;es\;un\;autom{\acute {o}}vil\;\land \;p\;es\;su\;conductor\}$

Relación binaria interna

Un caso muy importante de Relación binaria es entre los elementos de un único conjunto, dado que los distintos tipos de relación que se pueden determinar entre sus elementos tomados de dos en dos, determina la estructura del conjunto, lo veremos con un ejemplo:

Dado el conjunto A:

$A=\{a,b,c,d\}\,$

y la relación entre los elementos de este conjunto, representada en la figura, se puede ver que solo hay un conjunto, el A y que la relación entre los elementos es interior al conjunto, en este caso representado por las flechas.

$R\subset A^{2}$

En este caso podemos decir, como enumeración de las relaciones entre los elementos del conjunto A.

$a{\mathcal {R}}b\quad b{\mathcal {R}}c\quad c{\mathcal {R}}d$

$d{\mathcal {R}}d\quad d{\mathcal {R}}b\quad b{\mathcal {R}}a$

o como conjunto de pares ordenados:

$R=\{(a,b),(b,c),(c,d),(d,d),(d,b),(b,a)\}\,$

Relación binaria como una correspondencia

También podemos representar una relación binaria como una correspondencia de A sobre A:

$f:A\rightarrow A$

Tomando como conjunto inicial al conjunto A y como final también el conjunto A, esto nos permite emplear la estructura de las correspondencias para estudiar una relación binaria, teniendo siempre en cuenta, que si bien el conjunto inicial y final son un mismo conjunto, la relación es unidireccional, y si el elemento a está relacionado con el b no implica, necesariamente, que el b lo este con el a.

Considerando una relación binaria como un caso particular de correspondencia.

Relación binaria como subconjunto del producto cartesiano

Representación de una relación binaria como subconjunto del producto cartesiano:

Dado el producto $A\times A$ de pares ordenados (x, y), donde x, y pertenecen a A, la relación binaria será el subconjunto de $A\times A$ que contiene todos los pares de elementos relacionados.

d	(a, d)	(b, d)	(c, d)	(d, d)
c	(a, c)	(b, c)	(c, c)	(d, c)
b	(a, b)	(b, b)	(c, b)	(d, b)
a	(a, a)	(b, a)	(c, a)	(d, a)
A×A	a	b	c	d

Si el producto $A\times A$ es:

$A\times A$	$=\{\,$	$(a,a),\,(a,b),\,(a,c),\,(a,d),$
		$(b,a),\,(b,b),\,(b,c),\,(b,d),$
		$(c,a),\,(c,b),\,(c,c),\,(c,d),$
		$(d,a),\,(d,b),\,(d,c),\,(d,d)$	$\}\,$

el conjunto R de la relación binaria se representa:

$R=\{(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(d,b),(d,d)\}\,$

Notese que en el eje horizontal se representa el conjunto inicial, y en el eje vertical el conjunto final.

Segundo ejemplo

La divisibilidad podemos considerarla como una relación binaria:

R = {(x, y) ∈ ℤ×ℤ: x divide a y}.

En este caso, diríamos que dos números a y b pertenecientes a los enteros estarían relacionados por R si a divide a b, o dicho más precisamente: a∣b. Otro modo de definir esta relación (y cualquier otra) sería: aRb ↔ a∣b.

Propiedades

Las relaciones binarias pueden tener o no estas propiedades. R será:

Relación simétrica	$\forall a,b\in A,\;(a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\in R$
Relación antisimétrica	$\forall a,b\in A,\;(a,b)\in R\;\land \;a\neq b\Rightarrow (b,a)\notin R$
Relación reflexiva	$\forall a\in A,\;(a,a)\in R$
Relación antirreflexiva	$\forall a\in A,\;(a,a)\notin R$
Relación transitiva	$\forall a,b,c\in A,\;(a,b)\in R\;\land \;(b,c)\in R\Rightarrow (a,c)\in R$
Relación intransitiva	$\forall a,b,c\in A,\;(a,b)\in R\;\land \;(b,c)\in R\Rightarrow (a,c)\notin R$
Relación circular	$\forall a,b,c\in A,\;(a,b)\in R\;\land \;(b,c)\in R\Rightarrow (c,a)\in R$
Relación total

Clasificación

Según las propiedades mostradas anteriormente, las relaciones se pueden clasificar en:

• Relación de equivalencia: toda relación binaria que sea reflexiva, simétrica y transitiva.
• Relación de orden: toda relación binaria que sea reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Véase también

• Relación matemática
• Relación n-aria