Subespacio vectorial

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas características específicas.

Definición

Sean (V, +, K, *) un espacio vectorial y S un subconjunto de V.

S es subespacio vectorial de V si (S, +, K, *) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V. Las bases de un subespacio son el subconjunto de "alfa" y "beta" en el menor subespacio formado por la recta que pasa por dos puntos.

Condición de existencia de subespacio

El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.Estas antes mencionadas se dan con la suma y la multiplicacion para los vectores.

Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:

1. S no es un conjunto vacío.

$S\neq \emptyset$

2. S es igual o está incluido en V.

$S\subseteq V$

3. La suma es ley de composición interna.

$\forall {\vec {x}}\in S\land \forall {\vec {y}}\in S\Rightarrow {\vec {x}}+{\vec {y}}\in S$

4. El producto es ley de composición externa.

$\forall {\vec {x}}\in S\land \forall a\in K\Rightarrow a\cdot {\vec {x}}\in S$

Si estas cuatro condiciones se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

Operaciones con subespacios

Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V, se definen las siguientes operaciones:

Unión

$S\cup W=[X\in V/X\in S\vee X\in W]$
En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna. Si pertenece de forma segura la union a V en los casos en que S este contenido en W o viceversa.

Intersección

$S\cap W=[X\in V/X\in S\land X\in W]$
La intersección de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma

$S+W=[X\in V/X=(X_{1}+X_{2})\wedge X_{1}\in S\wedge X_{2}\in W]$
La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directa

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".
Es decir que si $S\cap W={\vec {o}}\Rightarrow S\oplus W$.

Dimensiones de subespacios

Esta fórmula resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios $S$ y $W$ será igual a la dimensión del subespacio $S$ más la dimensión del subespacio $W$ menos la dimensión de la intersección de ambos.

Por ejemplo, siendo $\dim(S)=3$ y $\dim(W)=2$ y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.
Luego, $\dim(S+W)=4$.

En la suma directa

En el caso particular de la suma directa, como $S\cap W={\vec {o}}\Rightarrow \dim(S\cap W)=0$.
La fórmula de Grassman resulta:

$\dim(S\oplus W)=\dim(S)+\dim(W)$

Entonces en el ejemplo anterior, resultaría $\dim(S\oplus W)=5$.

Véase también

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Espacio vectorial
• Combinación lineal
• Sistema generador
• Independencia lineal
• Base (álgebra)
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Producto escalar
• Producto vectorial
• Producto mixto