Clausura reflexiva

Sea $R$ una relación binaria aplicada sobre un conjunto $A$, la clausura reflexiva o cierre reflexivo de ${\mathcal {R}}$, denotada $CR({\mathcal {R}})$, es la relación reflexiva más pequeña aplicada sobre $A\,$ que contiene a ${\mathcal {R}}$.

En otras palabras, $CR({\mathcal {R}})$ es la relación binaria que verifica:

1. ${\mathcal {R}}\subseteq CR({\mathcal {R}})$
2. $CR({\mathcal {R}})$ es reflexiva
3. Si ${\mathcal {R}}'$ es una relación reflexiva tal que ${\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {R}}'$, entonces $CR({\mathcal {R}})\subseteq {\mathcal {R}}'$

Note que si ${\mathcal {R}}$ es reflexiva, entonces $CR({\mathcal {R}})={\mathcal {R}}$.

Cómo calcularla

Si la relación está dada por su matriz booleana asociada, la clausura reflexiva se obtiene completando con 1 la diagonal principal.

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

Esta última sería la matriz asociada la clausura reflexiva. A partir de esta matriz la relación $CR({\mathcal {R}})$ se construye trivialmente.

Véase también

• Clausura simétrica
• Clausura transitiva