Generalización universal

Reglas de transformación
Lógica proposicional
Reglas de inferencia
Modus tollendo tollens / ponens Modus ponendo ponens / tollens Introducción del bicondicional / eliminación Introducción de la conjunción / eliminación Introducción de la disyunción / eliminación Silogismo disyuntivo / hipotético Dilema constructivo / destructivo Absorción
Reglas de reemplazo
Asociatividad Conmutatividad Distributividad Doble negación Leyes de De Morgan Transposición Implicación material Exportación Tautología Introducción de la negación
Lógica predicativa
Generalización / instanciación universal Generalización / instanciación existencial
Lógica modal

En lógica de predicados, generalización (también generalización universal o introducción universal,​​​ GEN) es una regla de inferencia válida. Ella establece que si se ha derivado $\vdash P(x)$ , entonces puede derivarse $\vdash \forall x\,P(x)$

Generalización con hipótesis

La regla de generalización completa permite la hipótesis a la izquierda del trinquete, pero con restricciones. Supongamos que Γ es un conjunto de fórmulas, φ una fórmula, y $\Gamma \vdash \varphi (y)$. La regla de generalización dice que $\Gamma \vdash \forall x\varphi (x)$ puede derivarse si y no se menciona en Γ y x no ocurre en φ.

Estas restricciones son necesarias para la solidez. Sin la primera restricción, se podría concluir $\forall xP(x)$ de la hipótesis $P(y)$. Sin la segunda restricción, se podría hacer la siguiente deducción:

1. $\exists z\exists w(z\not =w)$ (Hipótesis)
2. $\exists w(y\not =w)$ (Instanciación existencial)
3. $y\not =x$ (Instanciación existencial)
4. $\forall x(x\not =x)$ (Generalización universal defectuosa)

Esto pretende demostrar que $\exists z\exists w(z\not =w)\vdash \forall x(x\not =x),$ que es una deducción errónea.

Ejemplo de una demostración

Demostrar: $\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))\rightarrow (\forall x\,P(x)\rightarrow \forall x\,Q(x))$.

Demostración:

Número	Fórmula	Justificación
1	$\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))$	Hipótesis
2	$\forall x\,P(x)$	Hipótesis
3	$(\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x)))\rightarrow (P(y)\rightarrow Q(y)))$	Instanciación universal
4	$P(y)\rightarrow Q(y)$	Desde (1) y (3) por Modus ponens
5	$(\forall x\,P(x))\rightarrow P(y)$	Instanciación universal
6	$P(y)\$	Desde (2) y (5) por Modus ponens
7	$Q(y)\$	Desde (6) y (4) por Modus ponens
8	$\forall x\,Q(x)$	Desde (7) por Generalización
9	$\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x)),\forall x\,P(x)\forall x\,Q(x)$	Resumen de (1) a (8)
10	$\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))\forall x\,P(x)\rightarrow \forall x\,Q(x)$	Desde (9) por Teorema de la deducción
11	$\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))\rightarrow (\forall x\,P(x)\rightarrow \forall x\,Q(x))$	Desde (10) por Teorema de la deducción

En esta prueba, se utilizó la generalización universal en el paso 8. El teorema de la deducción es aplicable en los pasos 10 y 11 porque las fórmulas que son trasladadas no tiene variables libres.

Véase también

• Lógica de primer orden
• Generalización apresurada
• Instanciación universal

Enlaces externos

• Datos: Q5364991