Identidad de Lagrange

En matemática, la identidad de Lagrange es una identidad relacionada con la factorización de productos y sumas de cuadrados. En su forma más simple establece:

Para cualesquiera números $a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}$ se cumple: $(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})=(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}$

La forma anterior puede generalizarse a un número arbitrario de variables.

Si $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ y $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$ son números (reales o complejos) entonces $\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}$

En anillos conmutativos

La forma más directa de demostrar la identidad de Lagrange es hacer uso de desarrollos algebraicos demostrando la validez de la identidad no solo para números reales o complejos sino para elementos de cualquier anillo conmutativo.

Prueba mediante desarrollo algebraico

Primero hacemos uso de la fórmula para desarrollar una suma elevada al cuadrado: $\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}2x_{i}x_{j}$ sustituyendo $x_{k}$ por $a_{k}b_{k}$: $\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}2a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}$ Por otro lado, del binomio al cuadrado $(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=a_{i}^{2}b_{j}^{2}-2a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}$ podemos despejar $2a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}=a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}-(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}$ y sustituyendo en la suma previa resulta en $\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2})-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}$ Pero $\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2})$ es la suma de todos los términos de la forma $a^{2}b^{2}$ para cualquier par de subíndices y por tanto se puede factorizar como $\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2})=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)$ Haciendo la sustitución arroja finalmente $\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}$ equivalente a la identidad que queremos demostrar.

Interpretación vectorial

Si consideramos los números $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ y $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$ como componentes de vectores en $\mathbb {R} ^{n}$:

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\qquad \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$,

entonces la identidad de Lagrange puede reescribirse en términos de las normas de los vectores y el producto escalar, pues

$\Vert \mathbf {a} \Vert ^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right),\qquad \Vert \mathbf {b} \Vert ^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)$

y

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}$

de manera que la identidad de Lagrange se convierte en:

Si $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ son dos vectores de $\mathbb {R} ^{n}$, entonces $\Vert \mathbf {a} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {b} \Vert ^{2}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}$

Sin embargo, cuando $n=3$, la última suma corresponde al cuadrado de la norma del producto vectorial de los vectores y en dicho caso la identidad de Lagrange se expresa como:

Si $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})$ son dos vectores de $\mathbb {R} ^{3}$, entonces $\Vert \mathbf {a} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {b} \Vert ^{2}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}+|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}$

Bibliografía

• Savchev, Svetoslav; Andreescu, Titu (2003). Mathematical miniatures. Anneli Lax New Mathematical Library (en inglés) 43. The Mathematical Association of America. ISBN 088385645X. 
• Weisstein, Eric W. «Lagrange's Identity». Mathworld (en inglés). Consultado el 8 de mayo de 2012. 

• Datos: Q1206853