Identidad de Proizvolov

En matemática, la identidad de Proizvolov es una identidad relativa a la suma de diferencias de números enteros positivos. La identidad fue propuesta por Vyacheslav Proizvolov como un problema en las Olimpiadas Soviéticas de Estudiantes de 1985 (Savchev y Andreescu, 2002, p. 66).

Para formular la identidad, se toman los primeros 2N enteros positivos,

1, 2, 3, ..., 2N − 1, 2N,

y se realiza una partición de ellos en dos subconjuntos de N números cada uno. Se reagrupa un subconjunto de manera que los elementos queden ordenados de menor a mayor (orden creciente):

$A_{1}<A_{2}<\cdots <A_{N}.$

Se reagrupa el otro subconjunto de manera que los elementos queden ordenados de mayor a menor (orden decreciente):

$B_{1}>B_{2}>\cdots >B_{N}.$

Entonces la suma

$|A_{1}-B_{1}|+|A_{2}-B_{2}|+\cdots +|A_{N}-B_{N}|$

es siempre igual a N².

Ejemplo

Tómese por ejemplo N = 3. El conjunto de números es entonces {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se seleccionan tres números de este conjunto, por ejemplo el 2, 3 y 5. Entonces las secuencias A y B son:

A₁ = 2, A₂ = 3, y A₃ = 5;

B₁ = 6, B₂ = 4, y B₃ = 1.

La suma es

$|A_{1}-B_{1}|+|A_{2}-B_{2}|+|A_{3}-B_{3}|=|2-6|+|3-4|+|5-1|=4+1+4=9,$

la cual indica que es igual a 3².

Referencias

• Savchev, Svetoslav; Andreescu, Titu (2002), Mathematical miniatures, Anneli Lax New Mathematical Library 43, Mathematical Association of America, ISBN 088385645X ..

Enlaces externos

• Proizvolov's identity en cut-the-knot.org
• Miguel Ángel Morales Medina. «La identidad de Proizvolov». gaussianos.com. Consultado el 2 de junio de 2011. 

• Datos: Q958887