Medida de Young

En análisis matemático, una medida de Young es un familia paramétrica de medidas que está asociada con ciertas subsucesiones de una sucesión acotada dada de funciones medibles. Uno de sus propósitos es cuantificar el efecto de oscilación de la sucesión en el límite. Las medidas de Young tienen aplicaciones en el cálculo variacional, especialmente modelos de la ciencia de materiales, y el estudio de ecuaciones diferenciales parciales no lineales, así como en diversos problemas de optimización (o control óptimo ). Llevan el nombre de Laurence Chisholm Young, quien las inventó en 1937 en el caso de dimensión 1 (curvas) y posteriormente en dimensiones superiores en 1942.​

Definición

Motivación

La definición de medidas de Young está motivada por el siguiente teorema: Sean m, n enteros positivos arbitrarios, sean $U$ ser un subconjunto acotado abierto de $\mathbb {R} ^{n}$ y $\{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ ser una sucesión acotada en $L^{p}(U,\mathbb {R} ^{m})$ . Entonces existe una subsucesión $\{f_{k_{j}}\}_{j=1}^{\infty }\subset \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ y, para casi todo $x\in U$, una medida boreliana de probabilidad $\nu _{x}$ en $\mathbb {R} ^{m}$ tal que para cada $F\in C(\mathbb {R} ^{m})$ tenemos

$F\circ f_{k_{j}}(x){\rightharpoonup }\int _{\mathbb {R} ^{m}}F(y)d\nu _{x}(y)$

débilmente en $L^{p}(U)$ si el límite existe (o débilmente* en $L^{\infty }(U)$ en caso de $p=+\infty$ ). Las medidas $\nu _{x}$ se llaman medidas de Young generadas por la sucesión $\{f_{k_{j}}\}_{j=1}^{\infty }$ .

Un recíproco parcial también es cierto: si para cada $x\in U$ tenemos una medida de Borel $\nu _{x}$ en $\mathbb {R} ^{m}$ tal que $\int _{U}\int _{\mathbb {R} ^{m}}\|y\|^{p}d\nu _{x}(y)dx<+\infty$, entonces existe una sucesión $\{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subseteq L^{p}(U,\mathbb {R} ^{m})$, limitado en $L^{p}(U,\mathbb {R} ^{m})$, que tiene la misma propiedad de convergencia débil que la anterior.

De manera más general, para cualquier función de Carathéodory $G(x,A):U\times R^{m}\to R$, el límite

$\lim _{j\to \infty }\int _{U}G(x,f_{j}(x))\ dx,$

si existe, estará dado por​

$\int _{U}\int _{\mathbb {R} ^{m}}G(x,A)\ d\nu _{x}(A)\ dx$ .

La idea original de Young en el caso $G\in C_{0}(U\times \mathbb {R} ^{m})$ era considerar, para cada número entero $j\geq 1$, la medida uniforme, digamos $\Gamma _{j}:=(id,f_{j})_{\sharp }L^{d}\llcorner U,$ concentrada en la gráfica de la función $f_{j}.$ (Aquí, $L^{d}\llcorner U$ es la restricción de la medida de Lebesgue a $U.$ ) Al tomar el límite débil* de estas medidas como elementos de $C_{0}(U\times \mathbb {R} ^{m})^{\star },$ tenemos

$\langle \Gamma _{j},G\rangle =\int _{U}G(x,f_{j}(x))\ dx\to \langle \Gamma ,G\rangle ,$

dónde $\Gamma$ es el límite débil mencionado. Después de una desintegración de la medida $\Gamma$ en el producto $\Omega \times \mathbb {R} ^{m},$ obtenemos la medida parametrizada $\nu _{x}$ .

Definición general

Dejar $m,n$ ser números enteros positivos arbitrarios, sean $U$ ser un subconjunto abierto y acotado de $\mathbb {R} ^{n}$, y deja $p\geq 1$ . Una medida de Young (con p -momentos finitos) es una familia de medidas de probabilidad de Borel $\{\nu _{x}:x\in U\}$ en $\mathbb {R} ^{m}$ tal que $\int _{U}\int _{\mathbb {R} ^{m}}\|y\|^{p}d\nu _{x}(y)dx<+\infty$ .

Ejemplos

Sucesión puntualmente convergente

Un ejemplo trivial de medida de Young es cuando la sucesión $f_{n}$ está acotada en $L^{\infty }(U,\mathbb {R} ^{n})$ y converge puntualmente en casi todas partes en $U$ a una función $f$ . La medida de Young es entonces la medida de Dirac

$\nu _{x}=\delta _{f(x)},\quad x\in U.$

De hecho, según el teorema de convergencia dominada, $F(f_{n}(x))$ converge débilmente* en $L^{\infty }(U)$ a

$F(f(x))=\int F(y)\,{\text{d}}\delta _{f(x)}$

para cualquier $F\in C(\mathbb {R} ^{n})$ .

Sucesión de funciones oscilatorias

Un ejemplo menos trivial es una sucesión

$f_{n}(x)=\sin(nx),\quad x\in (0,2\pi ).$

Se puede demostrar que la medida de Young correspondiente satisface​

$\nu _{x}(E)={\frac {1}{\pi }}\int _{E\cap [-1,1]}{\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,{\text{d}}y,\quad x\in (0,2\pi ),$

para cualquier conjunto medible $E$ . En otras palabras, para cualquier $F\in C(\mathbb {R} ^{n})$ :

$F(f_{n}){\rightharpoonup }^{*}{\frac {1}{\pi }}\int _{-1}^{1}{\frac {F(y)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,{\text{d}}y$

en $L^{\infty }((0,2\pi ))$ . En este caso, la medida de Young no depende de $x$ y por tanto el límite débil* es siempre una constante.

Sucesión minimizante

Para cada sucesión asintóticamente minimizante $u_{n}$ de

$I(u)=\int _{0}^{1}(u'(x)^{2}-1)^{2}+u'(x)^{2}dx$

sujeto a $u(0)=u(1)=0$ (es decir, la sucesión $\{u_{n}\}_{n}$ satisface $\lim _{n\to +\infty }I(u_{n})=\inf _{u\in C^{1}([0,1])}I(u)$ ), y tal vez después de pasar a una subsecesión, la sucesión de derivadas $u'_{n}$ genera medidas Young de la forma $\nu _{x}=\alpha (x)\delta _{-1}+(1-\alpha )(x)\delta _{1}$ con $\alpha \colon [0,1]\to [0,1]$ medible. Esto captura las características esenciales de todas las sucesiones minimizantes para este problema, es decir, sus derivadas $u'_{k}(x)$ tenderán a concentrarse a lo largo de los mínimos $\{-1,1\}$ del integrando $(u'(x)^{2}-1)^{2}+u'(x)^{2}$ .

En general, dada una familia medible $\{\nu _{x}\}_{x\in U}$ de medidas de probabilidad, es posible construir una sucesión de funciones $\{f_{n}\}_{n}$ tales que $f_{n}(x)\to ^{*}\nu _{x}$ para casi toda $x\in U$.

Referencias

• Ball, J. M. (1989). «A version of the fundamental theorem for Young measures». En Rascle, M.; Serre, D., eds. PDEs and Continuum Models of Phase Transition. Lecture Notes in Physics 344. Berlin: Springer. pp. 207-215. 
• C.Castaing, P.Raynaud de Fitte, M.Valadier (2004). Young measures on topological spaces. Dordrecht: Kluwer. 
• L.C. Evans (1990). Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations. Regional conference series in mathematics. American Mathematical Society. 
• S. Müller (1999). Variational models for microstructure and phase transitions. Lecture Notes in Mathematics. Springer. 
• P. Pedregal (1997). Parametrized Measures and Variational Principles. Basel: Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-9815-7. 
• T. Roubíček (2020). Relaxation in Optimization Theory and Variational Calculus (2nd ed.). Berlin: W. de Gruyter. ISBN 978-3-11-014542-7. 

• Valadier, M. (1990). «Young measures». Methods of Nonconvex Analysis. Lecture Notes in Mathematics 1446. Berlin: Springer. pp. 152-188. 
• Young, L. C. (1937), «Generalized curves and the existence of an attained absolute minimum in the Calculus of Variations», Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie, Classe III XXX (7–9): 211-234 ., memoir presented by Stanisław Saks at the session of 16 December 1937 of the Warsaw Society of Sciences and Letters. The free PDF copy is made available by the RCIN –Digital Repository of the Scientifics Institutes.
• Young, L. C. (1969), Lectures on the Calculus of Variations and Optimal Control, Philadelphia–London–Toronto: W. B. Saunders, pp. xi+331, ISBN 9780721696409 ..

Enlaces externos

•  Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Medida de Young», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .