Números de Stirling

En matemáticas, los números de Stirling resuelven algunos problemas del área de combinatoria. Su nombre se debe a James Stirling, quien los popularizó en el siglo XVIII. Existen dos diferentes conjuntos de números con este nombre: números de Stirling de primera especie y números de Stirling de segunda especie. Fueron descubiertos nuevamente por Masanobu Saka en 1782, quien les otorgó su relevancia en combinatoria en su libro Sanpo-Gakkai (El mar del aprendizaje matemático).​​

Notación

Existen diversas formas de denotar los números de Stirling. Los números de Stirling de primera especie se escriben con una s pequeña y los de segunda especie con una S grande (Abramowitz and Stegun usa una mayúscula o una S gótica). Las notaciones más comunes son:

• Los números de Stirling de primera especie ordinarios (signados) se denotan como:

$s(n,k){\text{ (con signo)}}\,$

• Los números de Stirling de primera especie no signados se denotan como:

$\left[{n \atop k}\right]=c(n,k)=|s(n,k)|{\text{ (sin signo)}}\,$

Los números de Stirling de segunda especie se denotan como:

$\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)=S_{n}^{(k)}.\,$

La notación usando llaves y corchetes, en analogía a los coeficientes binomiales, fue introducida en 1935 por Jovan Karamata y promocionada por Donald Knuth; referida a veces como la notación de Karamata.

Números de Stirling de primera especie

Los números de Stirling de primera especie son los coeficientes s(n,k) de la expansión:

$(x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}\,$

donde $(x)_{n}$ (símbolo de Pochhammer) denota el factorial descendente,

$(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)\,$

Nótese que (x)₀ = 1 porque es un producto vacío. En combinatoria también se usa la notación $x^{\underline {n\!}}$ para el factorial descedente, y $x^{\overline {n\!}}$ para el factorial ascendente.​

Los números de Stirling de primera especie no signados:

$c(n,k)=\left[{n \atop k}\right]=|s(n,k)|=(-1)^{n-k}s(n,k)$

(con una "s" minúscula), cuenta el número de permutaciones de n elementos con k ciclos disjuntos. Las siguiente tabla muestra algunos pocos números de Stirling de primera especie:

${\begin{array}{ccccccccccc}&&&&&~~1~~&&&&&\\&&&&-1&&~~1~~&&&&\\&&&2&&-3&&~~1~~&&&\\&&-6&&11&&-6&&~~1~~&&\\&24&&-50&&35&&-10&&~~1~~&\\-120&&274&&-225&&85&&-15&&~~1~~\\\end{array}}$

donde

$s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)s(n-1,k)$

Números de Stirling de segunda especie

El número de Stirling de segunda especie $S(n,k)$ de formas de dividir un conjunto de n elementos en k partes:

$S(n,k)={\text{card}}\left(\{B|\ {\text{card}}(B)=k\land B\subset \mathbb {N} _{n}\}\right)$

donde el conjunto $\mathbb {N} _{n}=[1,n]\cap \mathbb {N}$ es el conjunto de los primeros n enteros. Otra notación para los números de Stirling de segunda especie son:

$\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}:=S(n,k)$

A continuación se muestra una tabla de valores para los números de Stirling de segunda especie:

n \ k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	1	3	1
4	0	1	7	6	1
5	0	1	15	25	10	1
6	0	1	31	90	65	15	1
7	0	1	63	301	350	140	21	1
8	0	1	127	966	1701	1050	266	28	1
9	0	1	255	3025	7770	6951	2646	462	36	1

donde:

$S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k)\,$

Fórmulas simétricas

Abramowitz y Stegun presentan las siguientes fórmulas simétricas que relacionan los número de Stirling de primera especie con los de segunda especie:

$\left[{n \atop k}\right]=(-1)^{n-k}\sum _{j=0}^{n-k}(-1)^{j}{n-1+j \choose n-k+j}{2n-k \choose n-k-j}\left\{{n-k+j \atop j}\right\}$

Y

$\left\{{n \atop k}\right\}=(-1)^{n-k}\sum _{j=0}^{n-k}(-1)^{j}{n-1+j \choose n-k+j}{2n-k \choose n-k-j}\left[{n-k+j \atop j}\right].$

Bibliografía

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• John J. O'Connor, Edmund F. Robertson, James Stirling (1692–1770), (September 1998).

• Datos: Q80918