Plano de Dehn

El matemático alemán Max Dehn introdujo dos ejemplos conocidos como planos de Dehn, una geometría semieuclídea y una geometría no legendriana, en las que existen infinitas rectas paralelas a una recta dada que pasan por un punto determinado, pero donde la suma de los ángulos de un triángulo es al menos Π. Un fenómeno similar ocurre en geometría hiperbólica, excepto porque la suma de los ángulos de un triángulo es menor que Π. Los ejemplos de Dehn utilizan un cuerpo que no es arquimediano,​ y en consecuencia, no se verifica el axioma de Arquímedes. Fueron presentados por Max Dehn (1900) y discutidos por Hilbert (1902, pp. 127–130, o pp. 42–43 en ediciones posteriores).

Cuerpo de Dehn no arquimediano Ω(t)

Para construir sus geometrías, Dehn utilizó un cuerpo pitagórico ordenado no arquimediano Ω(t), el cierre pitagórico del cuerpo de funciones racionales R(t), formado por el cuerpo más pequeño de funciones racionales con valores en la recta real que contiene las constantes reales, la función identidad t (que aplica cualquier número real a sí mismo) y cerrada bajo la operación ${\textstyle \omega \mapsto {\sqrt {1+\omega ^{2}}}}$) se ordena indicando que (x > y) si la función x es mayor que y para números reales suficientemente grandes. Un elemento x de Ω(t) se llama finito si m < x < n para algunos números enteros m y n; y en caso contrario se llama infinito.

Geometría semieuclídea de Dehn

El conjunto de todos los pares (x, y), donde x e y son elementos cualesquiera (que pueden ser infinito) del cuerpo Ω(t), y con la métrica habitual:

$\|(x,y)\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$

que toma valores en Ω(t), da un modelo de geometría euclídea. El postulado de las paralelas es cierto en este modelo, pero si la desviación de la perpendicular es infinitesimal (es decir, menor que cualquier número racional positivo), las líneas que se cruzan lo hacen en un punto que no está en la parte finita del plano. Por lo tanto, si el modelo se restringe a la parte finita del plano (puntos (x,y) con x e y finitos), se obtiene una geometría en la que el postulado de las paralelas falla, pero la suma de los ángulos de un triángulo es Π. Esta es la geometría semieuclídea de Dehn. Se analiza en Rucker (1982, pp. 91–2).

La geometría no legendriana de Dehn

En el mismo artículo, Dehn también construyó un ejemplo de una geometría no legendriana donde hay infinitas líneas que pasan por un punto y no se encuentran con otra línea, pero la suma de los ángulos en un triángulo excede Π. La geometría elíptica de Riemann sobre Ω(t) consiste en el plano proyectivo sobre Ω(t), que puede identificarse con el plano afín de puntos (x:y:1) junto con la recta del infinito, y tiene la propiedad de que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es mayor que Π. La geometría no legendriana consta de los puntos (x:y:1) de este subespacio afín tal que tx y ty son finitos (donde, como anteriormente, t es el elemento de Ω(t) representado por la función de identidad). El teorema de Legendre afirma que la suma de los ángulos de un triángulo es como máximo Π, pero asume el axioma de Arquímedes, y el ejemplo de Dehn muestra que el teorema de Legendre no tiene por qué ser válido si se descarta el axioma de Arquímedes.

Bibliografía

• Dehn, Max (1900), «Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck», Mathematische Annalen 53 (3): 404-439, ISSN 0025-5831, JFM 31.0471.01, S2CID 122651688, doi:10.1007/BF01448980 .
• Hilbert, David (1902), The foundations of geometry, The Open Court Publishing Co., La Salle, Ill., MR 0116216 .
• Rucker, Rudy (1982), Infinity and the mind. The science and philosophy of the infinite, Boston, Mass.: Birkhäuser, ISBN 3-7643-3034-1, MR 0658492 .

• Datos: Q5252319