Teorema de Euler (geometría diferencial)

Aplicación del teorema de Euler a un punto de una curva inscrita en un cilindro

En el campo matemático de la geometría diferencial, el teorema de Euler es un resultado acerca de cómo determinar la curvatura en los puntos de una curva inscrita en una superficie. El teorema establece la existencia en cada punto de la superficie de dos curvaturas principales y de las correspondientes direcciones principales asociadas en las que la superficie se curva más y se curva menos.​ El teorema lleva el nombre de Leonhard Euler, quien lo demostró en 1760.​

Desarrollo

Más precisamente, sea M una superficie en el espacio euclídeo tridimensional y p un punto en M. El plano normal a la superficie en p es un plano que pasa por el punto p y contiene el vector normal a M. Por cada vector unitario tangente a M en p, pasa un plano normal P_X que genera una curva plana al seccionar M. Esa curva tiene una cierta curvatura κ_X cuando se considera inscrita en el plano P_X. Siempre que no todas las curvaturas κ_X sean iguales, existe algún vector unitario X₁ para el cual k₁ = κ_X1 es lo más grande posible, y otro vector unitario X₂ para el que k₂ = κ_X2 es lo más pequeño posible. El teorema de Euler afirma que X₁ y X₂ son perpendiculares entre sí y que, además, si X es cualquier vector que forme un ángulo θ con X₁, entonces

$\kappa _{X}=k_{1}\cos ^{2}\theta +k_{2}\sin ^{2}\theta .\,$

(1)

Las cantidades k₁ y k₂ se denominan curvaturas principales, y X₁ y X₂ son las direcciones principales correspondientes. La ecuación (1) a veces se denomina ecuación de Euler.​

Si θ es ángulo que forma la tangente a una curva (inscrita en la superficie) en un punto dado p con respecto al vector X₁, la fórmula de Euler permite obtener la curvatura de la curva en p.

Véase también

• Geometría diferencial de superficies
• Indicatriz de Dupin
• Teorema de Meusnier

Bibliografía

• Eisenhart, Luther P. (2004), A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces, Dover, ISBN 0-486-43820-1 . Texto completo de 1909 (ahora sin derechos de autor)
• Euler, Leonhard (1760), «Recherches sur la courbure des surfaces», Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin (1767) 16: 119-143 ..
• Spivak, Michael (1999), A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II, Publish or Perish Press, ISBN 0-914098-71-3 .

• Datos: Q3526990