Usuario:Comandante Quark

Este es mi página en Wikipedia, espero que las cosas que esten aqui les sea de su ayuda.

${\vec {J}}\cdot \int \limits _{\vec {J}}^{\vec {J}}\cdot {\vec {B}}\cdot {\vec {J}}$

Teorema de Unicidad

El limite de un mapeo bajo un conjunto dirigido es unico

Demostración:

Supongamos que $\lim _{(A,\preceq )}f(x)=b$ y que $b_{1}\neq b_{2}$ $\therefore$

$\lim _{(A,\preceq )}f(x)=b_{2}$

$\exists {E(b_{1})}\wedge \exists {E(b_{2})}|E(b_{1})\cap {E(b_{2})}=\emptyset$

para $E(b_{1})\exists {a_{1}}\in {A}|f(x)\in {E(b_{1})}\forall {x}\succ {a_{1}}$

para $E(b_{2})\exists {a_{2}}\in {A}|f(x)\in {E(b_{2})}\forall {x}\succ {a_{2}}$

$A$ es un conjunto dirigido sin último elemento $/\therefore$ $\exists {a\in {A}}|a_{1}\prec {a}\wedge {a_{2}\prec {a}}$ $\therefore$ $\forall {x\succ {a}}f(x)\in {E(b_{1})}\wedge f(x)\in {E(b_{2})}$

lo que contradice que $E(b_{1})\cap {E(b_{2})=\emptyset }$

Teorema del Subconjunto Confinal

Sea $f:A\rightarrow {\mathbb {R} }$ en donde $(A,\preceq )$ es un conjunto dirigido (hacia la derecha) sin último

elemento. Sea $B\subseteq {A}$ un subconjunto confinal de $A$.

Entonces $\lim _{(A,\preceq )}f(x)=b\Rightarrow {\lim _{(B,\preceq )}}f(x)=b$

Demostración:

$\lim _{(A,\preceq )}f(x)=b$ $\therefore$

$\forall {E(b)}\exists {a\in {A}}|f(x)\in {E(b)}\forall {x\succ {a}}$ $B\subseteq {A}$ es un subconjunto confinal de $A$

$\therefore$ $\exists {c\in {B}}|a\prec {c}$

$\therefore$ $\forall {x>c>a}f(x)\in {E(b)}$, es decir $\lim _{(B,\preceq )}f(x)=b$ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Relaciones de equivalencia

$\wp \subseteq A\times A$ es una relación de equivalencia. Si es reflexiva simétrica y transitiva. Se denota por

$\thicksim \subseteq A\times A$

Partición de un conjunto

Una partición de un conjunto $A$ es una familia $\sigma =\{B_{i}\}_{i\in I}$ de subconjuntos de $A$ tal que:

$A=\bigcup \limits _{i\in I}B_{i}$

$B_{i}\cap B_{j}\neq \emptyset \Rightarrow i=j$

Teorema Fundamental de las Relaciones de Equivalencia

Una relación de equivalencia en un conjunto $A$ se define como una partición de $A$ en clases de equivalencia y viceversa; toda

partición de un conjunto $A$ define una relación de equivalencia. Es decir $A/\thicksim$ forma una partición de

$A$.

Definición:

Sea $\thicksim \subseteq A\times A$ una relación de equivalencia y $a\in A$.

El conjunto $[a]:=\{x\in A|x\thicksim a\}$ se llama la clase de equivalencia de $a\in A$

La familia de clases de equivalencia de $A$ se llama conjunto cociente de $A$ con Relación

$a\thicksim$ y se nota como $/\thicksim$

Demostración del Teorema:

0) P.D. $a\in [b]\Rightarrow [a]=[b]$. Como $a\in [b]$, $[a]\subseteq [b]$, $a\thicksim b$

Sea $x\in [a]\Rightarrow x\thicksim a$ pero $a\thicksim b$ $\therefore$ $x\thicksim b$

$\therefore$

Sea $x\in [b]\Rightarrow x\thicksim a$ pero, como $a\thicksim b$, entonces $x\in [b]$,

$b\thicksim a\therefore x\thicksim a$

$\therefore x\in [a]$, es decir $[b]\subseteq [a]$. $\therefore [a]=[b]$

1) $\forall a\in A$ $a\thicksim a$(Reflexividad) $\therefore a\in [a]$

$A\subseteq \bigcup \limits _{a\in A}[a]$

$[a]\subseteq A\forall a$

$\bigcup \limits _{a\in A}[a]\subseteq A$

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \end{center}}

$\therefore A\bigcup \limits _{a\in A}[a]$

2) P.D. $[a]\cap [b]\neq \emptyset \Rightarrow [a]=[b]<math><math>\exists x\in [a]\cap [b]\Rightarrow x\in [a]$ y $x\in [b]\Rightarrow$

$x\thicksim a$ $\wedge$ $x\thicksim b$ $\Rightarrow$ $a\thicksim x$

$\wedge$ $x\thicksim b$ $\Rightarrow$ $a\thicksim b$ $\therefore$

$a\in [b]$ es decir $[a]=[b]$

Queda demostrado que $A/\thicksim$ forma una partición de $A$ en clases de equivalencia. Reciprocamente

Sea ahora $\sigma =\{B_{i}\}_{i\in I}$ una partición de $A$ definase la relación binaria $\thicksim \subseteq A\times A$ como

$a\thicksim b{\stackrel {def}{\Leftrightarrow }}$ $\exists B_{i}\in \sigma |a,b\in B_{i}$