Usuario:MRS~eswiki/distributividad

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Sea C un conjunto provisto de dos operadores binarios, * y × (es decir que para todo a y b elementos de E, a*b y a×b definen tambien elementos de C).

Se dice que * es distributiva sobre × si para todo a,b y c de C tenemos:

a*(b × c) = a*b × a*c

donde las paréntesis indican que se tiene que efectuar primero la operación interna (aqui el ×) y luego la externa (aquí el *).

La distributividad no es un invento tardío de algún matemático aburrido, sino la relación fundamental entre los dos operadores básicos de la aritmética, la adición y la multiplicación. En efecto, para todos los números (enteros, racionales, reales, complejos, cuaterniones)... tenemos la relación:

a×(b + c) = a×b + a×c

Distributividad en N: ilustración

Distributividad en R+: ilustración

Está relación se demuestra por inducción en el dominio de los enteros, y luego se extiende facilmente a los demás conjuntos, todos contruidos directa o indirectamente a partir de los enteros.

En vez de demostrarla, ilustrémosla con una figura: el producto de dos enteros naturales a y b corresponde a la número de puntos dispuestos en un rectángulo de a líneas por b columnas (así se ilustra la multiplicación en la clases elementales). a·(b+c) corresponde al rectángulo de a líneas y b+c columnas, el cual se descompone en dos rectángulos con a·b puntos (en azul) y a·c puntos (en rojo) respectivamente. Sumándolos, se obtiene a·b + a·c = a·(b+c).
En el caso de los números reales positivos, se consideran las áreas de los mismos rectángulos.

representación de la distributividad mediante árboles (grafos)

Se cree a menudo, y de manera equivocada, que la distributividad es la consecuencia de la presencia de parenténtesis. Estas son una mera notación para derogar el orden de prioridad preestablecido de los operadores, mientras que la distributividad es una propiedad matemática, independiente de la manera con la cual se escribe. Existen otras notaciones que prescinden de las paréntesis, como la notación mediante árboles (grafos, ver figura), la más pura y menos arbitraria, o la llamada notación polaca (empleada por antiguas calculadoras de Texas Instrument, para almacenar el mínimo de números en su escasa memoria):

ab×ac×+ = abc+× (poco leíble por cierto).

Los espacios vectoriales, los espacios modulares y las álgebras también utilizan la distributividad, como parte del concepto de «linealidad».

Las álgebras de Boole presentan la sorprendente propiedad de la doble distributividad: cada operador del álgebra es distributivo para con el otro. En el ejemplo del álgebra de las partes de un universo dado, tenemos:

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$    (distributividad de $\cup$ sobre $\cap$)   y

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$    (distributividad de $\cap$ sobre $\cup$).

Autor: M.Romero Schmidtke