Usuario:Marcos Bautista López/Taller
Diagrama de Marlo
Historia[editar]
El diagrama de Marlo permite representar y resolver gráficamente los procesos de inferencia implicados en el Silogismo, generando de forma exhaustiva todas las conclusiones necesarias, imposibles o contingentes que se siguen de las premisas.
Un silogismo permite pasar de dos premisas a una conclusión que asocia lo dicho en ellas gracias a la mediación de un concepto que se repite, el llamado término medio. Ejemplo: Los mamíferos son vertebrados. Los primates son mamíferos. Luego los primates son vertebrados.
El diagrama opera mediante procesos de síntesis y análisis basados en los principios de identidad y de no contradicción respectivamente, aunque se añaden un principio de distinción que obliga a mantener separadas todas las cosas distinguibles y un principio de indeterminación que impide eliminar la incertidumbre sin una razón suficiente.
La primera versión del diagrama aparece en el año 2014, en el libro Cálculo lógico de modelos proposicionales: La revolución del silogismo en el diagrama de Marlo. Posteriores modificaciones le permiten dar mayor peso en las inferencias a la consideración de la incertidumbre implícita en las premisas.
Modelos proposicionales[editar]
Todos los elefantes vuelan; los que vuelan tienen branquias; luego todos los elefantes tienen branquias. ¿Es verdad lo que hemos dicho?
Desde un punto de vista empírico lo afirmado es falso porque nunca hemos visto, a excepción de Dumbo, elefantes que volaran. Sin embargo, es un argumento formalmente válido, correcto desde la perspectiva de la lógica, porque la conclusión se sigue de las premisas.
El autor del diagrama mantiene que en clase de lógica se formalizan las premisas para razonar sin las interferencias del sentido común, que nos advierte de que afirmamos algo empíricamente falso: si se cambia elefante por E, volar por V y tener branquias por B y después se afirma que E=V y que V=B, entonces se ve con claridad y sin protestar que E=B.
Formalizar premisas es formalizar oraciones, las cuales relacionan siempre un sujeto con un predicado. En el ejemplo anterior se relacionón elefantes con volar. En el diagrama, oración puede ser sinónimo de proposición. El diagrama de Marlo expresa en modelos proposicionales las asociaciones sujeto-predicado que explícita e implícitamente comunican las proposiciones. Así, antes dijimos que todo elefante vuela, pero no que todo lo que vuela sea un elefante. Representar los matices que comunican las proposiciones es esencial cuando queremos evitar conclusiones falsas.
Los modelos proposicionales en el diagrama representan las premisas del silogismo situando en el centro de un círculo o polígono a la variable que ejerce como sujeto y a los lados y fuera de dicho círculo a las variables que ejercen de predicado.
Supongamos que un médico está leyendo historiales en el contexto de una investigación en su hospital y piensa: algunos con ansiedad tienen bradicardia. Para crear el modelo de esta proposición dibujaríamos como un círculo el conjunto de todos los que padecen ansiedad en el hospital y pondríamos en el centro de dicho círculo una A como etiqueta identificativa. Véase la figura del modelo proposicional para comprender el siguiente ejemplo. Como el médico ha descubierto, de momento, que parte de los que tienen ansiedad tienen bradicardia, partiríamos el modelo de A y le asignaríamos a la parte de abajo una B de bradicardia. Como esa parte de abajo forma parte del modelo de la ansiedad, debemos contar con que además de la B hay en ella una etiqueta A de la ansiedad. Luego, abajo del círculo escribimos AB. AB representa un tipo concreto de ansiedad, la asociada con bradicardia y podría designarse como A1.
En la parte superior del modelo de la ansiedad hemos escrito A¬B? porque podemos suponer, en base a lo dicho por el médico, que haya otra categoría, aún hipotética, de pacientes con ansiedad y sin bradicardia y a la que podremos designar como A2. Los modelos proposicionales deben ser inscritos en la lógica de la investigación y el descubrimiento y es por eso que, al representar el modelo de la ansiedad en este contexto, no determinamos categóricamente la parte de arriba como ansiedad sin bradicardia A¬B, sino como posible ansiedad sin bradicardia A¬B? En el diagrama, A¬B? es equivalente a AB? ya que la interrogación confiere a ambas el estatus de suposiciones y si es el caso que podemos suponer que esos pacientes tienen bradicardia, es el caso que podemos suponer igualmente que no la tienen. Así pues, en el curso de la investigación del médico, su modelo sobre los pacientes del hospital con ansiedad incluye una parte que seguro tiene bradicardia AB y una parte que podría no tenerla A¬B?, aunque esa segunda parte está a la espera de confirmación o refutación por parte de los hechos. A medida que avanza la investigación, los modelos proposicionales pueden cambiar sin afectar a los principios de la lógica.
Si observamos de nuevo la figura del modelo proposicional veremos que arriba y al margen del modelo o círculo de la ansiedad hemos escrito B¬A? Esta notación se debe interpretar como que es posible suponer que hay pacientes en el hospital que tengan bradicardia B y no tengan ansiedad ¬A. Si el médico hubiera dicho que solo pacientes con ansiedad tienen bradicardia no podríamos expresar la posibilidad de bradicardia sin ansiedad B¬A?, la cual equivale a la expresión ¬AB?
Representar gráficamente lo que podemos suponer al margen de lo afirmado explícitamente en la premisa es una de las aportaciones más importantes del diagrama a la didáctica del razonamiento. Esa notación ayuda a corregir la persistente tendencia al pensamiento bicondicional, el cual está en la base de la falacia de la afirmación del consecuente y de la falacia de la negación del antecedente. Podemos observar en la figura anexa las relaciones de activación en una proposición universal afirmativa. En el modelo proposicional de toda A es B, es fácil observar que la activación de B no implica necesariamente la de A, pues podría estar activa la parte de B no asociada con A. Del mismo modo, es evidente en el diagrama que el hecho de que A no esté activa no impide la posible activación de B? al margen de A..
Para interpretar la última imagen debemos tener en cuenta que el diagrama de Marlo concibe las proposiciones como herramientas que comunican sinapsis en las redes neuronales. De este modo, los elementos asociados se activan e inhiben mutuamente. También debemos saber que el color azul representa en el diagrama lo necesario, el rojo lo imposible, el verde lo probable y el amarillo lo incierto. Estas categorías se explican más adelante.
El diagrama de Marlo, por tanto, ayuda a corregir y prevenir los errores más comunes del razonamiento.
Representación y conversión de proposiciones[editar]
Podemos representar fácilmente mediante modelos proposicionales las premisas de un silogismo categórico y de argumentos similares. Después, mediante la conversión, alteraremos las relaciones sujeto-predicado del mismo modo que se alteran las relaciones figura fondo en la percepción.
A medida que se maneje el diagrama se hará posible simplificar la notación de manera que podremos comunicar cada vez más con menos, pero de momento debemos pedir un esfuerzo al lector para familiarizarse con todo lo que se expresa. Como dijo un niño: es complejo, pero no es complicado.
Un sujeto y un predicado tomados ambos universalmente expresan una asociación de equivalencia bicondicional: A es lo mismo que B, cuya conversión es B es lo mismo que A. Ejemplo: Par es lo mismo que divisible por dos, o bien: si y si solo si eres par, entonces eres divisible por dos. La proposición convertida será: Ser divisible por dos es lo mismo que ser par.
Esta proposición informa de que es imposible suponer pares no divisibles por dos y de que es imposible suponer divisibles por dos que no sean pares. Para representarlo en el diagrama se dibuja en el centro de un círculo sin divisiones la A, abajo la B y fuera nada. No hay posibilidad de no ser B dentro de A (A¬B), ni hay posibilidad de ser B fuera de A (B¬A). Solo hay AB o BA.
Un sujeto y un predicado tomados ambos de forma particular expresan una conjunción parcial: Algún A es B; o bien: parte de A se asocia con parte de B. Su conversión es: algún B es A. Ejemplo.: algunas personas con depresión tienen ansiedad, cuya conversión es algunas personas con ansiedad tienen depresión. Esta estructura afirma la conjunción de las variables de tal manera que ahora es posible suponer personas con depresión sin ansiedad y es posible suponer personas con ansiedad sin depresión. Si observamos la imagen podemos ver como dentro del modelo de A ahora existe la posibilidad de ¬B, (¬B?) igual que existe al margen de A la posibilidad de ser B (B?). Y lo mismo al convertir la proposición desde la perspectiva de B: hay que representar las posibilidades no confirmadas ni refutadas de no tener A dentro de B y de tener A al margen de B. En la representación, B? fuera de A equivale por el contexto a B¬A?, ya que lo único que puede haber al margen de A es ¬A, al menos cuando se conviene en establecer solo dos grados de ser: ser-no ser. Por lo mismo A? fuera de B equivale a A¬B? También podrían eliminarse las suposiciones representadas con interrogación dentro de los círculos, pues dejar una parte en blanco en ellos basta para expresar que hay una parte del modelo indeterminada en la premisa.
Si se toma universalmente una de las partes asociadas tenemos una asociación condicional: si A, entonces B, cuya conversión es solo B es A. Ejemplo: Todas las personas con delirios carecen de sentido crítico. Conversión: Solo las personas sin sentido crítico deliran. En este caso es posible suponer personas con sentido crítico que no deliran, pero no personas con delirios y sentido crítico. En el diagrama que representa la proposición condicional cualquier parte de A es B es posible suponer B al margen de A (B?), pero no hay sitio dentro de A para suponer ¬B. Al convertir el modelo condicional de A obtenemos obtenemos un modelo en el que es seguro que al menos una parte de B contiene a todo A: el modelo de solo B es A, que es también condicional, aunque ahora es el predicado el que ejerce como antecedente. En el diagrama de Solo B se asocia con A debemos dejar un espacio dentro de B para suponer ¬A, pero no podemos suponer al margen de B la posibilidad de tener A. Consideremos otro ejemplo: Solo los que tienen dinero pueden comprar un diamante = todos los que compran diamantes tienen dinero. Ahora podemos imaginar gente con dinero que no compre diamantes sin hacer falso lo enunciado, pero no podemos suponer gente que compre diamantes sin dinero.
Una disyunción afirma distintas posibilidades asociadas a un mismo elemento. Para expresarla gráficamente, basta con dividir el modelo del elemento común, que ejerce como sujeto, en tantos lados como posibilidades se afirmen. La disyunción expresa relaciones probables. Partiendo de A, tengo B o C. No obstante, el punto de partida de una disyunción puede ser el contexto. Ejemplo: Veré la tele o escucharé música.
En la imagen se muestra un ejemplo de disyunción en el diagrama de Marlo. Sin embargo, explicar todas las implicaciones lógicas de las disyunciones en el diagrama supera el objetivo de este artículo.
¿Puede el lector tratar de imaginar como cambiaría el modelo si se eliminara la palabra solo y se afirmara en el curso de una investigación que el asesino puede ser Juan o Miguel?
¿Qué añadiría? ¿Estaría de acuerdo en poner una lado más con una interrogación dejando abierta la posibilidad de que el asesino sea un tercero que aún desconocemos?
Una disyunción exclusiva se expresa como una disyunción, pero las partes no son combinables por contener categorías excluyentes. Ejemplo: El asesino solo puede ser o Juan o Miguel, pero no los dos. Luego, tendremos en el modelo del asesino A, J¬M y ¬J M, que son imposibles de combinar por la exclusión de ¬M con M.
Al formalizar el lenguaje natural no siempre es fácil determinar el modelo proposicional exacto de las relaciones que se pretenden comunicar. En todo caso, para no perdernos por las ramas es conveniente acotar el universo del discurso. Así sabremos con qué es relevante contar al margen de lo expresamente señalado en las proposiciones. Por ejemplo, si afirmo que mi amigo Juan es sumamente crítico, seguramente será irrelevante, e innecesario para llegar a donde quiero llegar, señalar que al margen de Juan puede haber otras personas sumamente críticas.
Conversiones complejas[editar]
Al convertir las proposiciones complejas que relacionen más de dos conceptos debemos prestar atención de representar los mismos tipos de categorías en el modelo inicial y final. Cambiaremos la perspectiva considerando al predicado como sujeto de la nueva proposición. Después trasladaremos ordenadamente cada tipo de letra de un modelo a otro. Hay que considerar que, si un concepto que operó como predicado en el modelo inicial solo fue representado allí con una letra, en el modelo en el que este concepto funcione como sujeto solo se requerirá de la etiqueta central. Si partimos de dos tipos, dividiremos el círculo; si tenemos necesidad de expresar modelos con tres tipos distintos de categorías, emplearemos un triángulo; si queremos expresar un modelo con cuatro divisiones, usaremos un cuadrado... Cada predicado particular supone la creación de una nueva extensión dentro del modelo que permita distinguirlo.
En la imagen observamos un ejercicio típico de los que se realizan en el aula al aprender el manejo del diagrama. El primer modelo podría interpretarse del siguiente modo: Si tenemos Q, entonces tenemos seguro la totalidad de S y seguro también, al menos una parte de R. Lo cual es lo mismo tras convertir que afirmar que si tenemos R, existe la posibilidad confirmada de tener la totalidad de S y Q, aunque no se ha descartado que podamos no tenerlas. Este modelo, a su vez, equivale al modelo que afirma que cualquier parte de S se asocia con la totalidad de Q y parte de R, siendo posible suponer que hay una parte de R no asociada a S.
Transformación de proposiciones[editar]
Un proceso cercano a la conversión es la transformación de proposiciones.
Mediante la transformación buscamos proposiciones equivalentes, pero modificando las variables, por ejemplo, de no fumadores a fumadores.
Si partimos de la relación de equivalencia afirmando que par(A) es lo mismo que divisible por dos (B), entonces tras transformar diremos que no tener A conlleva no tener B, que a su vez se puede convertir en: no tener B equivale a no tener A. Podemos observar estas transformaciones en la fila 1 de la imagen.
La fila 2 muestra como transformar una asociación condicional. Es evidente que si todos los ángeles son buenos, entonces, los que no son buenos no son ángeles. Además, podemos afirmar que al menos una parte de los que no son ángeles no son buenos.
La fila 3 y 4 muestran la transformación de conjunciones. Por ejemplo, en la 3 podríamos decir: algunos alumnos del instituto Pablo Neruda (A) siguen al Barcelona (B)= si alguien no es del instituto Pablo Neruda es imposible que pueda ser uno de los seguidores del Barcelona definido por ser del instituto Pablo Neruda (B1)= Para cualquiera que no sea seguidor del Barcelona es imposible ser el tipo de alumno del instituto Pablo Neruda definido por seguir al Barcelona. Estas transformaciones no nos informan sobre si los que no son del Neruda siguen o no al Barcelona. Podría haber seguidores del Barcelona fuera del instituto, del mismo modo que es posible suponer alumnos del Neruda que no sigan al Barcelona. Debemos observar que el hecho de que sea imposible asociarse a un determinado tipo de cualidad no impide estar asociado a dicha cualidad. Ejemplo: No ser bolígrafo rojo no impide ser bolígrafo.
La fila 5 muestra una transformación condicional con el esquema de la universal negativa aristotélica: Ningún atleta bebe = Para cualquiera que no sea atleta, es imposible ser el tipo de no bebedor definido por ser atleta = Beber se asocia necesariamente con no ser atleta, aunque podría haber quienes no sean atletas y no beban. Al añadir en la fila 5, columna c, el subíndice 1 en ¬A indicamos que esa ¬A no agota las formas posibles de no ser atleta, ya que podría haber, al margen de los que beben, personas que ni son atletas ni beben.
Aunque la transformación puede facilitar las inferencias por síntesis, es una constante fuente de error en las proposiciones particulares.
Interpretación de las conclusiones[editar]
Los procesos de inferencia por síntesis o análisis generan modelos con múltiples variables. Si empezamos por interpretar las relaciones establecidas en un modelo proposicional complejo desde la perspectiva del sujeto, debemos plantearnos cuáles de sus partes quedan asociadas con cuáles de las partes de los conceptos en juego. También debemos considerar cuáles de sus partes quedan definitivamente separadas de las partes o subtipos de otros conceptos por estar asociados respectivamente a elementos contrarios o excluyentes. Si, por ejemplo, en el modelo del Trastorno de Ansiedad Generalizada (T) la preocupación excesiva (P) es un elemento esencial, entonces es imposible no tener preocupación excesiva dentro del modelo del TAG. Para diagnosticar TAG a pacientes sin preocupación excesiva tendríamos que modificar sustancialmente el modelo añadiendo una parcela definida como T¬P, pero mientras no cambiamos el modelo, afirmaremos que toda T es P o, lo que es lo mismo, que ninguna T es ¬P, o lo que es lo mismo, que solo en P hay T, o lo que es lo mismo, que si no hay P no hay T. Y todo ello lo afirmamos en teoría.
Si tratamos de interpretar un modelo desde la perspectiva de alguno de los conceptos que actúa como predicado sin convertir antes el modelo, debemos considerar cuántas letras representan a dicho concepto y con qué otros conceptos y en qué modo quedan asociadas cada una de esas letras. Si solo hay una letra sin subíndice representando al predicado, dicho predicado ha sido tomado de forma universal. Hay que tener presente que solo quedan asociadas necesariamente las letras que comparten división en el modelo.
Los elementos que no son mutuamente excluyentes y comparten distintas divisiones de un modelo proposicional mantienen entre sí una relación probable. No obstante, hay dos usos de los modelos complejos que suele conllevar ambigüedad.
Por ejemplo: Supongamos que definimos a mis alumnos como lectores del periódico ABC y del periódico El País. Si en matemáticas se afirma que tres de mis alumnos leen el ABC, se sugiere que ni ellos leen El País ni el resto el ABC. Por el contrario, si en clase de lógica se afirma que es cierto que tres de mis alumnos leen el ABC, ni se afirma que sean los únicos que leen el ABC, ni se niega que lean El País. La lógica usa modelos abiertos y los matemáticos suelen emplear modelos cerrados. Los modelos cerrados son generados después de investigar y la ausencia de una variable en una división del modelo presupone la presencia de su complementaria, lo cual no ocurre en lo modelos abiertos que se manejan durante la investigación. Por eso, basta decir en el modelo cerrado que algunos leen el ABC para afirmar implícitamente que otros no. En una comunicación precisa hay que matizar si hablamos de modelos abiertos o cerrados.
Observemos la figura anexa. En ella se ejemplifica el paso de modelos proposicionales abiertos constituidos por elementos lógicos combinables a modelos que combinan dichos elementos con posibilidades teóricamente probables. En la primera fila vemos que si partimos de un modelo proposicional que describe P con una de sus partes igual a Q y otra de sus partes igual a R, entonces es posible expresar el mismo modelo de P compuesto por tres objetos que resultan de combinar sin repetir las posibilidades Q y R del modelo inicial: así, se aprecia en el triángulo que resulta de combinar Q y R, que si tenemos P, entonces podemos tener R, podemos tener Q, o bien podemos tener QR, pero no aparece reflejada la posibilidad ¬Q ¬R. Es decir, en la primera fila, la R inferior del círculo puede asociarse o no con ¬Q; Tampoco en la R solitaria del triángulo hay motivos para afirmar ¬Q. Imaginemos que el modelo integra información de distintas fuentes. Tal vez, finalmente, solo haya de hecho un tipo de P: PQR.
Síntesis en el diagrama[editar]
De la consideración adecuada de lo que podemos suponer al margen de lo afirmado dependerá la validez de nuestras conclusiones. Una vez formalizadas las premisas, podremos generar inferencias sobre los modelos proposicionales gracias al principio de identidad, aunque el alcance de nuestras conclusiones debe ser limitado por lo que llamaremos principios de distinción y de incertidumbre.
Por ejemplo, si descubres que parte de mis hermanos caza y que parte de mis hermanos pesca: ¿es necesario que los que pescan sean los mismos que los que cazan? Al expresar el modelo de mis hermanos y en base al principio de identidad, habría que representar en dicho modelo los predicados cazadores y pescadores, porque sería cierto afirmar que entre mis hermanos hay cazadores y pescadores. Pero en base al principio de distinción habría que expresar ambos predicados de manera que permanecieran separados provisionalmente, es decir, siendo aún combinables, ya que tampoco podemos estar seguros de que cazadores y pescadores no sean los mismos. La relación entre cazadores y pescadores sería aquí la de un no ser relativo: no son el mismo predicado, pero podemos llegar a descubrir que se predican de lo mismo.
Lo que se dice, se dice por algo, y por ello lo afirmado en las premisas tiene el estatus de teoría y no se cuestiona. Aunque a la postre pueda ser ficticio. Lo que no se dice sí es cuestionable en los modelos abiertos.
Si el universo del discurso en este ejemplo fuera la totalidad de mi familia, el principio de incertidumbre me obligaría a representar la posibilidades no confirmadas ni refutadas de ser cazador o pescador sin ser mi hermano, y de ser mi hermano sin pescar o cazar. Después, al realizar la síntesis, las suposiciones de las premisas deberán mantener su estatus de suposiciones en las conclusiones.
La síntesis es posible gracias al término medio. Veamos el ejemplo de la figura. En el primer modelo de la fila 1 se afirma que Aristóteles es discípulo de Platón y en el segundo modelo se afirma que Aristóteles es un lógico. Aplicando el principio de identidad podemos concluir en la fila 2 que Aristóteles es discípulo de Platón y lógico. Además, hemos recogido en la conclusión las suposiciones permitidas en las premisas y las hemos expresado al margen del modelo de A. Luego podemos suponer, al margen de Aristóteles, otros discípulos de Platón y otros lógicos cuya existencia y cuyas relaciones quedan indeterminadas en las premisas. En la fila 4 hemos convertido la conclusión desde la perspectiva de los discípulos de Platón y vemos que es seguro, según las premisas, que una parte de ellos se asocia con ser Aristóteles y ser lógico, aunque podría haber al margen otros lógicos. Finalmente, la fila 5 expresa parte de la información contenida en 4, pero desde la perspectiva de los lógicos.
Los procesos de síntesis pueden llevarnos a inferir la identidad total, parcial o probable de los objetos sometidos a nuestra consideración. Como veremos, en el diagrama de Marlo lo decisivo no es que las premisas sean universales o particulares. Lo decisivo es si son universales o particulares los modelos de los términos asociados por el término medio.
Síntesis universal-universal[editar]
De la síntesis de dos modelos universales que comparten sujeto surge un modelo universal sin divisiones en el que todas sus asociaciones interiores son necesarias.
En la figura se propone un ejemplo: Todos los números terminados en cero son divisibles por dos. Todos los números terminados en cero son divisibles por cinco. Tras formalizar y realizar la síntesis de modelos veremos que todos los números terminados en cero son divisibles por dos y por cinco y veremos, si nos fijamos en lo predicado dentro y fuera del modelo, que algunos números divisibles por cinco son divisibles por dos, y que puede haber números divisibles por cinco y números divisibles por dos que no terminen en cero. Otra conclusión correcta sería afirmar que algunos números divisibles por dos son divisibles por cinco.
Recuerdo al lector que al estudiar como razonar con el diagrama de Marlo debemos evitar la interferencia de los conocimientos previos, ya que el diagrama trata de expresar cómo razonaría un niño o un extraterrestre que no saben más que lo que le dicen literalmente las premisas. Así, si un niño escucha de su profesor de matemáticas que todos los pares son divisibles por dos, puede dejar abierta la posibilidad de que existan números divisibles por dos que no son pares. El profesor no cuenta con esa posibilidad, el niño sí.
Síntesis universal-particular[editar]
De la síntesis de un modelo particular y otro universal que comparten sujeto obtendremos un modelo particular que, no obstante, debe mantener en todas sus partes lo afirmado previamente en el modelo universal.
Veamos el ejemplo de la figura: Todos los hermanos Barca (B) estudian arte (A). Me han confirmado, de momento, que algunos de los que estudian Cultura Clásica (C) son Barca. La fila 1 expresa estas dos premisas. En la fila 2 observamos que hemos dividido el modelo de toda B es A, pero que sigue expresando que toda B es A porque en todas sus partes hay una A. También en la fila 2 vemos que hemos convertido el modelo de la segunda premisa alguna C es B en alguna B es C. La conversión permitirá la síntesis por la mediación de B. Ya en el modelo de la conclusión debemos asociar con ambas partes del modelo que representa a los hermanos Barca (B) el hecho de estudiar Arte (A). Pero solo en una de las partes podemos colocar como algo seguro el hecho de que estudien Cultura Clásica. Así, tenemos seguro una parte con ambas materias (AC) y una parte en la que solo es seguro el Arte (A). Si finalmente todos los Barca tuvieran Cultura Clásica, el modelo se unificaría por la identidad absoluta de sus dos partes AC=AC. Y si finalmente aparecieran hermanos Barca con Arte y sin Cultura Clásica, añadiríamos a la división de arriba una ¬C. Así, sería imposible recombinar las dos partes representadas respectivamente por AC y A¬C y su separación sería absoluta.
También podríamos haber representado en la conclusión la posibilidad de que haya hermanos Barca con Arte y sin Cultura Clásica con la notación A¬C? en la parte superior del modelo de B. En muchas ocasiones tendremos la opción de representar de varios modos equivalentes, desde una perspectiva estrictamente lógica, una misma premisa. Aunque, desde otras perspectivas más pragmáticas, no es lo mismo decir: es posible que te apruebe; que decir: es posible que no te apruebe.
Síntesis particular-particular[editar]
De la síntesis de dos modelos particulares que comparten sujeto surge un modelo complejo en el que las relaciones no son necesarias. En estos casos debemos estar especialmente prevenidos del frecuente error de considerar como asociación necesaria lo que solo es una asociación probable. Ejemplo: Hay brotes psicóticos por consumir cocaína. Juan tuvo un brote psicótico. La activación simultánea de Juan, brote y cocaína facilita y predispone la síntesis.
En la figura se representa el proceso de razonamiento correcto. En la fila 1 formalizamos las premisas incluyendo las posibilidades no refutadas ni confirmadas. En la fila 2 convertimos la segunda premisa para igualar los sujetos y poder operar por síntesis de B. Ahora afirmamos que una parte de los brotes psicóticos se asocia con Juan. En el contexto de un hospital, puede ocurrir que el psiquiatra que llega no sepa si hay, además de Juan, pacientes con brote psicótico.
La fila 3 resulta de la síntesis de los modelos de la fila 2, pero aplicando el principio de distinción. Observamos que, según las premisas, en el modelo de los brotes psicóticos solo hay dos cosa seguras: la cocaína y Juan, pero no sabemos si se relacionan. Además, puede haber brotes sin cocaína o sin Juan. Las combinaciones sin repetición ni contradicción de estas categorías nos permiten suponer cuatro tipos de brotes psicóticos, aunque no todos con el mismo crédito. Que Juan tomó cocaína es una creencia verosímil, menos basada en suposiciones que afirmar que no la tomó. Y es así porque en las premisas se explicita que hay brotes con cocaína, mientras que la posibilidad de brotes sin cocaína es algo que tenemos que suponer. No obstante, afirmar categóricamente que Juan consumió cocaína sin considerar otras posibilidades es una falacia.
La fila 4 de la figura condensa la incertidumbre de la fila 3 y reduce el modelo a tres categorías de brotes psicóticos: una asociada a Juan, otra asociada a la cocaína y una tercera que podría albergar categorías de brote psicótico en las que hubiera ausencia de cocaína, de Juan o de ambos
Conclusiones necesarias a partir de premisas negativas y particulares[editar]
Los procesos de síntesis pueden tener lugar exactamente igual cuando las premisas sean negativas en su consideración clásica, siempre que el término medio sea equivalente.
Si decimos que ningún atleta olímpico es fumador y que ningún atleta olímpico bebe en exceso, podemos concluir por síntesis que los atletas olímpicos ni fuman ni beben en exceso, estando contenido en dicha conclusión que algunos de los que no fuman no beben en exceso y viceversa. Véase la figura.
En todo caso, es cierto que no podemos saber nada a partir de estas premisas de las relaciones que hay entre los que fuman y los que beben en exceso, y esto es así porque las premisas nombraban a no fumadores y no bebedores, que son cosas muy distintas de fumadores y de bebedores respectivamente.
El diagrama de Marlo también permite concluir a partir de lo que tradicionalmente se han considerado, tal vez inadecuadamente, dos premisas particulares. Podemos revisar el silogismo resuelto en el que el término medio era Aristóteles. En ambas premisas de dicho silogismo Aristóteles era considerado universalmente, en toda su extensión. Otra cosa hubiera sido afirmar, por ejemplo, que en determinados escritos Aristóteles es un lógico, o afirmar que en algún momento fue discípulo de Platón. Según el diagrama, particular será el modelo partido, dividido, no el modelo que represente objetos particulares. Es decir, que aunque un objeto particular, por definición, forma parte de un modelo universal que lo incluye, dicho objeto puede ser considerado a su vez y en sí mismo de forma universal.
Los dos silogismos analizados en este apartado son ejemplos de síntesis universal-universal según el diagrama de Marlo.
Repulsión o exclusión de variables[editar]
La segunda forma de alcanzar una conclusión a partir de premisas es la captación de asociaciones imposibles. Ejemplo: Si afirmo que Juan es alto y que el presidente de mi comunidad de vecinos es bajo (no alto), entonces es imposible que Juan sea dicho presidente. Las categorías excluyentes se repelen y ahora el término medio, en lugar de unir, separa.
Para concluir por repulsión debemos aceptar la validez de los principios de identidad, de no contradicción y de tercero excluido. Estos principios son necesarios para sistemas cognitivos que se ven obligados a tomar decisiones puntuales basándose en representaciones puntuales de los estados de cosas.
Para generar representaciones y tomar decisiones adaptadas es necesario juzgar los estímulos a partir de escalas de adecuación a uno o varios criterios. Estas escalas, parcialmente innatas y parcialmente adquiridas según el autor del diagrama, permiten comparar e identificar los objetos por su situación relativa en ellas, generando de este modo representaciones al servicio de la acción.
Ejemplo: Me pediré este postre que es barato. Es evidente que lo más barato de una carta podría ser lo más caro de otra y que lo que consideremos barato depende de nuestra experiencia y de nuestra cartera, pero es preciso juzgar y elegir, incluso a veces ponerse de acuerdo… o te quedas sin postre.
El principio de tercio excluso conlleva que si algo no está situado en un punto o intervalo de la escala, debe estar localizado en algún otro punto o intervalo de dicha escala, o bien no es nada.
Al formalizar las proposiciones del silogismo en el diagrama de Marlo convenimos solo dos grados de ajuste a un criterio, ser y no ser. Por ello, al aplicar el principio de tercio excluso si es imposible ser, será necesario no ser y viceversa.
Una vez formalizadas las premisas podemos advertir repulsión universal, parcial o nula entre las distintas divisiones o partes de los modelos cuando el término medio tenga un valor excluyente en ellas. En la imagen se ilustran los tipos de repulsión que podemos encontrar al resolver un silogismo. Hemos coloreado de rojo los objeto que son imposibles de asociar por contener categorías excluyentes. Las conclusiones en azul son conclusiones categóricas que informan de asociaciones totalmente imposibles. El amarillo en las premisas representa posibilidades permitidas pero inciertas, es decir, ni confirmadas ni refutadas. El amarillo en las conclusiones representa lo que podemos suponer contando con las posibilidades permitidas en las premisas.
Podemos captar mejor los principios del análisis viendo con más detalle los tres tipos de exclusión que se aprecian al resolver silogismos mediante el diagrama de Marlo: universal-universal, universal-particular y particular-particular.
Repulsión universal-universal[editar]
Si al formalizar un silogismo con término medio A - ¬A excluyentes solo tenemos un tipo de término mayor BA y un tipo de término menor C¬A, la conclusión será universal negativa en ambas direcciones: ningún B es C; y ningún C es B.
Podemos seguir un razonamiento por repulsión de dos modelos universales en la figura. La fila 1 formaliza las premisas: ningún no humano argumenta, Sócrates argumenta. En la fila 2 primero hemos convertido ambos modelos para poner de relieve la exclusión que provoca el término medio argumentar-no argumentar. Para alcanzar la conclusión debemos analizar los modelos en busca de relaciones imposibles entre los tipos posibles que puede haber de no humanos y de Sócrates. Si observamos los modelos de ¬A y de A en la fila 2 veremos que solo hay un tipo posible de no humanos dentro de ¬A, los que no argumentan, y solo hay un tipo posible de Sócrates, el que argumenta. Es evidente que ningún tipo de no humano puede asociarse con ningún tipo de Sócrates y viceversa. Estas son las conclusiones que muestran los dos últimos modelos de la fila 2. Luego si es imposible que Sócrates sea no humano porque argumenta y convenimos en que lo único distinto de no humano es humano, entonces Sócrates es humano.
Otro ejemplo de repulsión universal, más sencillo de procesar por carecer de negaciones, lo tenemos al afirmar que todos los ovíparos nacen de huevos y que ningún primate nace de huevos. Cualquier asociación de ovíparos y primates atentará contra el principio de no contradicción, porque unos nacen y otros no nacen de huevos. Luego los primates no son ovíparos y ningún ovíparo es primate.
Repulsión universal-particular[editar]
Si al formalizar un silogismo con término medio A, ¬A excluyentes tenemos un tipo de término mayor BA y dos tipos de término menor: C¬A y C?, la conclusión será particular negativa: algún C no es B; o bien: ningún B es el tipo de C asociado con ¬A.
Un ejemplo de repulsión universal-particular lo tenemos al afirmar que ningún homínido tiene cola y que algunos primates tienen cola. Podemos seguir el razonamiento en la figura. En la fila 1 hemos formalizado las premisas. Si consideramos atentamente los diagramas observaremos primero que el término medio es C - ¬C excluyente. Localizado el término medio nos preguntamos cuántos tipos de H hay y cuántos tipos de P. Vemos que solo hay un tipo de H: H¬C. Vemos que hay dos tipos de P: uno confirmado en teoría, PC y uno que podemos suponer, P¬C?.
Ahora que sabemos cuántos tipos de letras tenemos debemos proceder ordenadamente a buscar relaciones imposibles.
Primero: ¿Pueden los homínidos ser primates? Nos estamos preguntando si en el modelo de H podría entrar algún tipo de P. Para responder a esta pregunta debemos aprender a mirar ordenadamente los modelos de H y de P.
Miramos hacia H, miramos hacia P, y debemos percatarnos de que la parte de P asociada con C no puede entrar en el modelo de H¬C. Luego ningún Homínido puede ser un primate con cola.
Pero, ¿pueden los homínidos ser otro tipo de primate?
Miramos nuevamente los modelos de H y de P. Debemos percatarnos de que P¬C? podría entrar en el modelo de H, de modo que toda H, la única que hay, podría asociarse con P. Es decir, que los homínidos podrían ser todos primates sin cola. Solo es posible, porque ni siquiera se afirma en las premisas que existan primates sin cola.
Así pues, ni podemos afirmar categóricamente que los homínidos no sean primates, ni podemos afirmar categóricamente que no lo sean ateniéndonos a las premisas.
Segundo: Pueden los primates ser homínidos? Ahora nos preguntamos si en el modelo de P es posible algún tipo de H.
Miramos hacia P, miramos hacia H y debemos percatarnos de que es imposible que en parte de P, la definida por C, entre ninguna H, pues la única que hay está asociada con ¬C. Sin embargo, en la otra parte de P, la que podemos suponer sin C, sí podría entrar H. Luego H está prohibida solo en una parte de las dos posibles partes de P. Esta captación de la asociación imposible en una parte, pero no en todas, nos permite concluir categóricamente que algún primate no es homínido. Aunque tal vez ninguno lo sea.
Como vemos, ateniéndonos a lo dicho en las premisas, lo único cierto es que algún primate no es homínido, aún siendo posible que todos los homínidos sean primates.
Los silogismos con repulsión parcial parecen los más difíciles en el aula. Requieren orden y flexibilidad en la consideración de las relaciones establecidas, unas relaciones que no son simétricas. Y siendo los más difíciles, quizás sean también los más necesarios para potenciar la capacidad de análisis.
Repulsión particular-particular[editar]
Si al formalizar un silogismo con término medio A, ¬A excluyentes tenemos dos tipos de término mayor BA y B¬A?, así como dos tipos de término menor: C¬A y CA?, entonces la conclusión será que no hay conclusión categórica por no haber nada imposible. Toda B se podría asociar finalmente con C del mismo modo que toda C se podría asociar con B. No obstante, sí es imposible que determinados tipos de B se asocien con determinados tipos de C.
Un ejemplo de repulsión particular-particular sería afirmar que todos los sociópatas son inmorales y que algunos políticos no son sociópatas. Podemos seguir el razonamiento en la figura. Formalizamos las premisas en la fila 1.
En la fila 2 convertimos la primera premisa para operar sobre el modelo de los inmorales. Ya habremos evidenciado que el término medio es excluyente. Luego para concluir debemos buscar relaciones imposibles.
En el paso 3 debemos captar que es imposible asociar cierto tipo de I con cierto tipo de P, ambos en rojo en la imagen.
En el paso 4 se muestra que, sin embargo, es posible suponer relaciones entre los conceptos de tal manera que finalmente todos los inmorales fueran políticos y todos los políticos fueran inmorales.
Por tanto, en este caso no podemos llegar a ninguna conclusión categórica más allá de la incompatibilidad de un tipo determinado de políticos con un tipo determinado de inmorales. Es decir, que aunque parte de los políticos no puede asociarse con parte de los inmorales, todas las personas inmorales podrían dedicarse a la política y todos los políticos podrían ser unos inmorales.
La vía de la transformación para evitar el análisis[editar]
Muchos alumnos se sienten más cómodos transformando las premisas para evitar el análisis y poder operar por síntesis. No obstante, el autor del diagrama recomienda trabajar el análisis y recuerda las confusiones que provoca transformar premisas particulares. En el último silogismo de los sociópatas podemos alcanzar la misma conclusión de que no hay conclusión necesaria si transformamos las premisas para igualar el término medio y operar por síntesis.Podemos seguir el razonamiento en la figura.
En la primera fila formalizamos las premisas del silogismo: todos los sociópatas son inmorales y algunos políticos no son sociópatas.
En la fila 2 hemos transformado la primera premisa todos los sociópatas son inmorales por ninguno que sea moral es sociópata.
En la fila 3 hemos convertido el modelo transformado para hacer evidente la identidad de los modelos en juego, ya que ambos comparten el término medio no sociópata.
En la fila 4 sintetizamos toda la información contenida en los modelos de la fila 3 aplicando el principio de distinción. Primero obtenemos un modelo de¬S con cuatro posibilidades parcialmente combinables. Este modelo es condensado en un triángulo en la misma fila 4, unificando las posibilidades no confirmadas en un solo lado. La forma correcta de interpretar las relaciones en el modelo final de ¬S es considerar que cualquier combinación no imposible está permitida y es probable, pero en ningún caso necesaria.
Fundamentos teóricos[editar]
Sistemas de creencias[editar]
Los modelos proposicionales forman parte, según su autor, de sistemas de creencias, por lo que expresan expectativas al servicio de la vida. Estas expectativas requieren ser codificadas de forma coherente, rentable y comunicable y, sobre todo, deben permitir a los organismos tomar decisiones y anticiparse ante la presencia de oportunidades y peligros.
Por eso, en el diagrama de Marlo se expresan objetos y relaciones de objetos con distintos grados de confianza. Si nuestras teorías acerca de qué objetos componen el mundo y de qué relaciones mantienen entre sí son adaptadas, nuestra vida mejora. Por ejemplo, anticipar antes que nadie la presencia de un oso al escuchar un gruñido en el bosque.
Por el contrario, si nuestras teorías son inadecuadas pereceremos o, cuando menos, sufriremos más de lo necesario: Por ejemplo, creer que si no te lavas las manos cien veces, tu familia sufrirá un accidente. Según el autor, nuestras creencias, para ser razonables, deben estar más basadas en interpretaciones compartidas que en deseos o miedos particulares.
Objetos, conjuntos y sistemas[editar]
Los sistemas cognitivos, según el diagrama de Marlo, codifican sus creencias construyendo objetos, conjuntos y sistemas.
El primer componente del sistema de creencias en el diagrama son los objetos. Un objeto es en el diagrama una asociación de cualidades distinta y única que puede ser considerada una unidad dotada de identidad. Las cualidades indican el grado de ajuste que mantienen los estímulos con criterios relevantes para la vida. Ejemplo: A = nutritivo,¬A= no nutritivo. Los criterios que permiten el juicio generan escalas que se calibran con la experiencia, a partir de la comparación de los efectos que provocan diferentes estímulos en el sistema. Ejemplo: nada amargo, un poco amargo, muy amargo, súper amargo, etc.
En el objeto o unidad los elementos que lo definen esencialmente son razón suficiente unos de otros. Ejemplo: mientras considere mi teléfono móvil como un único objeto, percibir por la noche el botón de encendido parpadeando encima de la mesilla es razón suficiente para que espere encontrar el resto del teléfono encima de la mesilla y alargue la mano para cogerlo. Y si no es razón suficiente, entonces es que he dejado de considerar el teléfono móvil como un objeto para considerarlo como un conjunto de partes separables.
El objeto también puede ser definido por lo que no es. Dos elementos que mantienen una relación imposible deben ocupar espacios separados y no combinables. Diríamos que son distintos en términos absolutos: ni son lo mismo ni lo pueden llegar a ser mientras sea manifiesto aquello que les hace incompatibles. Así, cuando dos categorías excluyentes se encuentran en la misma división de un modelo mueven al entendimiento a superar dialécticamente la contradicción generando una nueva división que los albergue por separado. Pueden compartir conjunto, pero sin posibilidades de ser el mismo objeto. Ejemplo: Si Juan te habla de un cazador que es mi hermano y no tiene hijos y Luis te dice que uno que vive en Alcobendas con tres hijos es mi hermano, entonces sabes seguro, aunque en teoría, que tengo por lo menos dos hermanos distintos.
Los objetos del diagrama se condensan en conjuntos que son definidos por una cualidad compartida y por la cantidad de objetos que la comparten. Las relaciones que se dan entre los elemento de un conjunto son probables. Será considerada en el diagrama de Marlo relación probable aquella que se establezca entre cualesquiera de los elementos situados en distintas divisiones de un mismo modelo, siempre que dichas divisiones no contengan categorías excluyentes. Las relaciones probables se expresan en disyunciones.
Los conjuntos, a su vez, pueden condensarse en sistemas. Un sistema, en el diagrama de Marlo, incluye relaciones inciertas entre algunos de sus elementos. Si observamos la figura Objetos, conjuntos y sistemas, apreciaremos al margen del sistema B al objeto CD. Desde la perspectiva de B, la relación de B con CD es incierta. Sin embargo, si re-codificamos la información centrándonos en D, tal como muestra la figura cambio de sistema, la relación de B con CD aparece como algo probable: si tenemos D, es probable tener C y es probable tener BA, luego es probable tener DCBA.
No obstante, todo se puede llegar a relacionar con todo en los sistemas de creencias, siendo tarea del conocimiento distinguir las creencias basadas en asociaciones espurias de las creencias adaptativas.
Cuanto más fuerte o intensa sea la relación expresada entre dos elementos mayor confianza tendremos en que la presencia de uno conlleva la del otro. De qué dependa la intensidad de las asociaciones es algo de lo que se ocupan las teorías del aprendizaje. Desde la perspectiva del diagrama de Marlo, solo interesa definir los tipos de asociaciones.
Modos de ser o modos de asociación[editar]
La captación de semejanzas y diferencias permite a los sistemas cognitivos agrupar y separar en modelos proposicionales los elementos que conforman su experiencia subjetiva. Así, reflejan y comunican en qué medida es razonable esperar algo a partir de la presencia o la ausencia de uno o varios de los otros elementos. Los sistemas cognitivos presuponen regularidad y variabilidad en el discurrir de los hechos y por eso elaboran sistemas de creencias que tratan de responder a dos preguntas ¿Qué me cabe esperar a partir de esto? ¿Con qué seguridad me cabe esperarlo?
Cuanto más fuerza tenga una asociación, mayor seguridad tendremos en nuestras expectativas. A pesar de ser posible concebir un continuo entre expectativas nada seguras y totalmente seguras, con límites muy borrosos a veces, limitaremos a dos las categorías: seguras y no seguras.
En el diagrama son relaciones seguras las relaciones necesarias e imposibles y no son seguras las relaciones probables e inciertas.
Relaciones no seguras o contingentes[editar]
La forma de relación más insegura es la relación incierta. Es una relación incierta cualquier relación no expresamente prohibida por el principio de no contradicción ni expresamente obligada por el principio de identidad, y que, aún siendo posible, carece de suficiente base empírica como para ser considerada una teoría. Una posibilidad puede llegar a tener suficiente base como para ser considerada una hipótesis. A priori todo es posible y las posibilidades son infinitas. Ejemplo de conocimiento incierto: Si antes de saber absolutamente nada de ti me preguntan si alguien de tu familia padece el síndrome de Jacobs, mi primera respuesta será encogerme de hombros y decir que no lo sé. La asociación tú, familiar, síndrome de Jacobs, la concebiré como algo posible, pero totalmente incierto al mismo tiempo, pues ni sé si existe tal síndrome, ni sé si tienes familia.
La segunda forma de relación contingente, algo más segura que la anterior, es la relación probable. En la relación probable es manifiesto un marco de referencia basado en hechos ya conocidos que permite situar los elementos buscando nexos de unión o diferencias irreconciliables entre ellos. Sin un modelo que sirva como marco de referencia cualquier asociación será meramente posible. Ejemplo: Si tu médico me informara de que en tu familia hay alguien con el síndrome de Jacobs, que no sé que es, y yo conociera ya que María es parte de tu familia, entonces consideraría probable que María padeciera el síndrome de Jacobs. El modelo proposicional de tu familia serviría como nexo o término medio que relacionara a María con el síndrome. Cuantos menos familiares tuvieras, más probable sería que María fuera quien padece el síndrome.
Relaciones seguras[editar]
La primera forma de relación segura que se aprecia en el diagrama de Marlo es la relación necesaria. Se consideran necesarias en el diagrama las asociaciones de los elementos agrupados en una misma división u objeto de los modelos. La relación necesaria define a todo aquello que puede ser considerado una misma cosa. Ejemplo: Si tu médico me informa de que en tu familia hay alguien con el síndrome de Jacobs, y yo estoy convencido de que María es tu única familia, entonces pensaré necesariamente que María padece el síndrome de Jacobs.
La segunda forma de relación segura es la relación imposible. Ejemplo: Si después de estar seguro de que María es la persona que padece el síndrome de Jacobs, me informo de que dicho síndrome está ligado al cromosoma Y, consideraré imposible que María lo padezca, dado que María carece, en teoría, de cromosoma Y.
El autor del diagrama se manifiesta de acuerdo con Hume en que cierto grado de duda debe acompañar siempre a un espíritu justo en sus investigaciones, pero también recuerda a sus alumnos que las dudas no pueden privarnos de elaborar creencias que, aunque provisionales, nos permitan tomar decisiones a tiempo.
Argumentos con múltiples premisas[editar]
El diagrama de Marlo permite resolver argumentos con múltiples premisas. En la figura se muestran las relaciones establecidas por un conjunto de ocho premisas, primero desde la perspectiva de A, después desde la perspectiva de M. Y finalmente se muestra como puede ser re-codificada la información mediante procesos de síntesis.
Los modelos proposicionales son flexibles: Pueden convertirse para expresar las conexiones de las redes de información desde cualquier punto de vista; se pueden transformar permitiendo alcanzar conclusiones por distintas vías; se pueden condensar; pueden simplificarse para mostrar sólo asociaciones relevantes y pueden evolucionar, actualizarse y negociarse sin afectar a los principios de la lógica.
El diagrama de Marlo tiene potencial para ser aplicado a los razonamientos categóricos de la lógica de proposiciones y la lógica de predicados, así como a los razonamientos probables, permitiendo que cada inferencia sean ilustrada paso a paso gráficamente y al mismo tiempo, sea expresada mediante el lenguaje natural. Así pretende el autor reconciliar la lógica con el sentido común.
A juicio de su autor, muy influido por el concepto de razón vital de Ortega y Gasset, el diagrama muestra la razón como la estructura formal responsable de que nuestros sistemas de creencias sean coherentes y comunicables. Así se concibe que la razón es una, pero ajena a las verdades absolutas. Una con infinitas perspectivas que son fruto de la experiencia particular y que cooperan y compiten por conformar la cultura.
Bibliografía[editar]
López-Aznar, M. B. (2014). Cálculo lógico de modelos proposicionales: la revolución del silogismo en el Diagrama de Marlo. Pamplona: Círculo Rojo.
López-Aznar, M. B. (5-7 de Noviembre de 2014). Lógica de predicados en el diagrama de Marlo, cuando razonar se convierte en un juego de niños. Jornadas Internacionales de innovación docente en la enseñanza de la Filosofía. Madrid, Madrid, España. Publicado como capítulo en: GARCÍA NORRO,J.J.; INGALA GÓMEZ, E.; ORDEN JIMÉNEZ, R.F. (coords.). Diotima o de la dificultad de enseñar filosofía. Madrid: Escolar y Mayo, 2016. [en prensa]
López-Aznar, M. B. (11-14 de Noviembre de 2014). XVII Encuentro Internacional de Didáctica de la Lógica. El Diagrama de Marlo para el cálculo lógico de silogismos y su eficacia en el aula. Morelia, Michoacán, México: Academia Mexicana de la Lógica.
López-aznar, M. B. (2015). Adiós a bArbArA y Venn. Lógica de predicados en el diagrama. Paideia. Revista de Filosofía y didáctica filosófica(102), 35-52.
López-Aznar, M. B. Estructura formal de los sistemas de creencias desde el diagrama de Marlo. ESTYLF 2016. XVIII Congreso Español sobre tecnologías y Lógicas fuzzy. Libro de resúmenes. Donostia-San Sebastián. (25-27 de Mayo de 2016). pp. 108 a 109.
Enlaces externos[editar]
www.diagramademarlo.com