Usuario:SrPlatinum/Taller

Inducción Matemática

Principio de Inducción

En inducción partimos siempre de un paso base y de un paso inductivo para realizar operaciones.

Mediante el principio de inducción podemos verificar que un caso es válido para n y su (n+1), por ello, para comenzar a demostrar teoremas y proposiciones podemos partir de un primer axioma que exige:

Sea $S\subseteq \mathbb {N}$ con:

$1\in S$ y $\forall k\in \mathbb {R} ,k\in S\longrightarrow k+1\in S$ $\Longrightarrow S=\mathbb {N}$

A partir de esta definición y considerando que $\forall n\in \mathbb {N} ,p(n)$ se cumple $S=n\in \mathbb {N} :p(n)$.

Con esta información es afirmativo que es cierto para p(1) ($1\in S$) y por tanto para p(k) $p(k)\longrightarrow p(k+1)$

Mediante el principio de Inducción podemos realizar la demostración del teorema del binomio.

El teorema del binomio es el siguiente:

$\left(a+b\right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\left(a\right)^{k}\left(b\right)^{n-k}$ donde $a,b\in \mathbb {R}$ y $n\in \mathbb {N}$

Asimilamos que el concepto de coeficiente binomial es el siguiente:

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}$

Para demostrar el teorema del binomio puede verificarse que para n = 1 es verdadero.

Considerando:

$n\geq 1=>\left(a+b\right)^{n+1}=(a+b)\left(a+b\right)^{n}=(a+b)\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\left(a\right)^{k}\left(b\right)^{n-k}$

$$=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{(n+1)-k}$$

$$=a^{k+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k-1}a^{k}b^{(n+1)-k}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{(n+1)-k}+b^{n+1}$$

$$=a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}[{n \choose k-1}+{n \choose k}]a^{k}b^{(n+1)-k}+b^{n+1}$$

$$=\sum _{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k}a^{k}b^{(n+1)-k}$$

Como resultado obtenemos: $\left(a+b\right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\left(a\right)^{k}\left(b\right)^{n-k}=\sum _{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k}a^{k}b^{(n+1)-k}$

Inducción fuerte

A diferencia de la inducción débil, en la inducción fuerte no hay un caso base y nos lanzamos directamente al paso inductivo.

En inducción fuerte podemos demostrar que un caso es válido para un valor m y todos sus valores anteriores. Esta característica lo diferencia de la inducción débil.

Podemos partir de lo siguiente:

Sea $\varphi$ una proposición de los naturales tal que para todo m en los naturales y para todo k menor que m se cumple que $\varphi (k)=>\varphi (m)$, entonces, para todo n en los naturales, $\varphi (n)$ es cierto.

De forma resumida:

A modo de resumen, la hipótesis base sería: $\forall m\in \mathbb {N}$ ( [$\forall k<m$ $\varphi (k)$] $\Rightarrow \varphi (m)$ ) $\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N}$ $\varphi (n)$.

A modo de prueba podemos y utilizando el principio del buen orden:

• Supongamos un conjunto A como el conjunto de todos los números naturales que no cumplen la proposición enunciada anteriormente => A = {$n\in \mathbb {N} |\neg \varphi (n)$} donde A no tiene mínimo => $A=\varnothing$

• El objetivo es conseguir una contradicción partiendo de que A sí tiene mínimo, por tanto, m = min(A): $\forall k<m(k\notin A)\land m\in A$.

• Por tanto, de forma contradictoria, k no está en el conjunto A: $\forall k<m(k\notin [n\in \mathbb {N} \mid \neg \varphi (n)])$ lo que conlleva a que no se cumpla la proposición $\varphi$ => $\forall k<m[\neg (\neg \varphi (k))]=\forall k<m[\varphi (k)]$.
• Debido a que es falso que no se cumpla $\varphi (n)$ => $m\notin A$.

Por ende, se ha llegado a la conclusión de que A no tiene mínimo => $A=\varnothing$

Principio del buen orden

contenido3

Caso base distinto de 0 o 1

contenido4

Hipótesis de Riemann

El nombre de esta hipótesis viene dado por su autor Bernhard Riemann el cual enunció la función $\zeta$ (zeta) y dicha función asigna un número complejo a cada número complejo.

Esta es una función de $\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C}$.

Como introducción se puede plantear la suma infinita de los inversos siendo estos valores $\geqslant 1$ $\Longrightarrow$ $\zeta =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}};\forall i\in \mathbb {R}$. Este sumatorio tiende a infinito, es una suma divergente.

No obstante, al modificar el sumatorio por la suma de los inversos al cuadrado donde los inversos son valores $\geqslant 1$ obtenemos un valor que no tiende a infinito el cual es el siguiente:

El resultado de la suma de los inversos al cuadrado fue descubierto por Leonhard Euler: $\sum _{i=1}^{\infty }({\frac {1}{i^{2}}})={\frac {\pi ^{2}}{6}};\forall i\in \mathbb {R}$

Puede continuarse de esta manera hasta elevar el inverso a un numero n desarrollando una función que depende de una variable n definida como $\varphi (k)=1+{\frac {1}{2^{k}}}+{\frac {1}{3^{k}}}+{\frac {1}{4^{k}}}$ + … ; $\forall k\in \mathbb {R}$

Este patrón puede adaptarse para valores que pueden ser complejos $\Longrightarrow$$\varphi (p)=1+{\frac {1}{2^{p}}}+{\frac {1}{3^{p}}}+{\frac {1}{4^{p}}}$ + … $p\in \mathbb {C}$

La función $\zeta (n)$ de Riemann es la extensión analítica de $1+{\frac {1}{2^{n}}}+{\frac {1}{3^{n}}}+...$ la cual está definida por complejos cuya parte real es $\geqslant 1$

Una curiosidad relacionada con este tema es acerca de un error que se ha expandido el cual afirma que la suma de todos los números naturales es equivalente a $-{\frac {1}{12}}$.

De forma obvia esta afirmación es falsa y no se ha aclarado correctamente, este valor se obtiene mediante la función $\zeta$ de Riemann al reemplazar por -1 en su función:

${\displaystyle \zeta }(-1)=1+{\frac {1}{1^{-1}}}+{\frac {1}{2^{-1}}}+...=1+2+3+4+5+...=-{\frac {1}{12}}$.

Bernhard Riemann trató de imaginar y realizar mas allá de asociar valores que el sumatorio alcanza cuando 'n' se encuentra junto a otro valor en la recta real, por lo que su principal enfoque fue en estudiar qué ocurre cuando se evalúa un número complejo. El objetivo es añadir la suma del número complejo $i$ + el exponente:

$\zeta (2+i)={\frac {1}{1^{2+i}}}+{\frac {1}{2^{2+i}}}+{\frac {1}{{3}^{2+i}}}+{\frac {1}{4^{2+i}}}+...=({\frac {1}{2}})^{2+i}+({\frac {1}{3}})^{2+i}+({\frac {1}{4}})^{2+i}+...$

The changes produced in the Input Space can be reflected in the OutPut Space like proportional changes.

Si nos centramos en la expresión anterior, la parte más interesante se encuentra en la aplicación de las propiedades de las potencias tal que:

$({\frac {1}{2^{2+i}}})=({\frac {1}{2}})^{2+i}=({\frac {1}{2}})^{2}*({\frac {1}{2}})^{i}$

Repercusiones de la Hipótesis de Riemann

La Hipótesis de Riemann afirma que todos los otros ceros de la función $\zeta$ (zeta) se encuentran en la recta vertical que pasa por ${\frac {1}{2}}$, es decir, son números complejos de la forma ${\frac {1}{2}}+it$, $\forall t\in \mathbb {R}$.

Esta función tiene una profunda conexión con los números primos donde los ceros de la función zeta y los números primos satisfacen ciertas propiedades de dualidad, conocidas como fórmulas explícitas, que muestran, usando análisis de Fourier, que estos ceros pueden interpretarse como frecuencias armónicas en la distribución de los números primos.

Conociendo la relación de los números primos con la función $\zeta$, las repercusiones que tuvo esta función son algunas de estas:

• Estimadores precisos del término del resto del teorema de los números primos:

Hege von Koch demostró que la hipótesis de Riemann es equivalente al teorema de los números primos en el cual se enuncia que:

Existe una constante C tal que:

$C\geq 0:|\pi (x)-Li(x)|\leq C{\sqrt {x}}\ln x$ $\forall x:\pi (x)=card[p\geq 2,primo,p\leq x]$ siendo la función contadora de primos y $Li(x)=\int \limits _{2}^{x}\ln(t)dt$

• Comparación de $\pi (x)$ y Li(x):

Para valores de x pequeños se había demostrado $\pi (x)\leq Li(x)$ lo que llevó a conjeturar Li(x) era una cota superior estricta de $\pi (x)$ y por tanto no la ecuación $\pi (x)-Li(x)$ no tiene soluciones reales.

No obstante, en 1914 Littlewood empleó la Hipótesis de Riemann para mostrar quela desigualdad $\pi (x)\leq Li(x)$ se invierte para valores suficientemente grandes de x.

En 1933 Skewes usó la Hipótesis de Reimann para mostrar que la desigualdad se invierte para algunos $x<10^{10^{10^{34}}}$y en 1955, sin usar la Hipótesis, mostró que la desigualdad se invierte para algunos $x<10^{10^{10^{963}}}$

• Las distancias entre los números primos consecutivos:
  

Cramer mostró que la RH implica que existe una constante $C:p_{k+1}-p_{k}=C{\sqrt {pk}}\log p_{k}$ donde $p_{k}$ es el k-ésimo primo. Existe un resultado mejor que el de Cramer que es enunciado por la siguiente conjetura:

Siempre hay un primo entre $n^{2}$ y $(n+1)^{2}$ deberían existir varios lo que implica que $p_{k+1}-p_{k}=C{\sqrt {p_{k}}}$

No obstante, Cramer también conjuró que la brecha es $C(\log p_{k})^{2}$.

Tercer Tema

Cardinalidad de la Unión de Conjuntos

Principio de la suma

Para conjuntos disjuntos:

Sean $A_{1}$ y $A_{2}$ conjuntos disjuntos ($A_{1}\cap A_{2}=\varnothing$) entonces: $|A_{1}\cup A_{2}|=|A_{1}|+|A_{2}|$

Tal y como enuncia El Principio de la Suma:

El número de elementos en una unión de conjuntos disjuntos es igual a la suma de los tamaños de todos los conjuntos

Este principio se puede demostrar por inducción sobre el número de conjuntos.

La demostración puede empezar basándose en que los conjuntos {$0,1,2,3,...,m-1$} y {$n,n+1,...,n+m-1$}. Este principio puede extenderse a tres o más conjuntos, en tal caso, dice que si $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ son conjuntos disjuntos dos a dos ($A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$ para $i\neq j$):

$|A\cup A_{2}\cup A_{3}...\cup A_{n}|=|A_{1}|+|A_{2}|+...+|A_{n}|$

Aún así, el principio de la suma puede enunciarse como:

Si una primera tarea se puede realizar de $n_{1}$ formas y una segunda tarea se puede realizar de $n_{2}$ formas suponiendo que las dos tareas son incompatibles, entonces, hay $n_{1}$ + $n_{2}$ formas de realizar una de las dos tareas.

Para conjuntos no disjuntos:

Sean $A_{1}$ y $A_{2}$ dos conjuntos ($A_{1}\cap A_{2}\neq \varnothing$) entonces: $|A_{1}\cup A_{2}|=|A_{1}|+|A_{2}|-|A_{1}\cup A_{2}|$

Para demostrar este enunciado se puede empezar suponiendo que $A_{1}=(A_{1}\backslash A_{2})\cup (A_{1}\cap A_{2})$ con $(A_{1}\backslash A_{2})\cap (A_{1}\cap A_{2})=\varnothing$ luego $|A_{1}|=|A_{1}\backslash A_{2}|+|A_{1}\cap A_{2}|$ provocando que:$|A_{1}\backslash A_{2}|=|A_{1}|-|A_{1}\cap A_{2}|$

Dado que $A_{1}\cup A_{2}=(A_{1}\backslash A_{2})\cup (A_{1}\cap A_{2})\cup (A_{2}\backslash A_{1})$:

$|A_{1}\cup A_{2}|=|A_{1}\backslash A_{2}|+|A_{1}\cap A_{2}|+|A_{2}\backslash A_{1}|=|A_{1}|-|A_{1}\cap A_{2}|+|A_{1}\cap A_{2}|+|A_{2}|-|A_{1}\cap A_{2}|=|A_{1}|+|A_{2}|-|A_{1}\cap A_{2}|$

Principio del producto

Sean $A_{1}$ y $A_{2}$ dos conjuntos: $|A_{1}\times A_{2}|=|A_{1}|\cdot |A_{2}|$.

Para demostrar este enunciado se debe encontrar una biyección entre {$0,1,...,m+n-1$} y {$0,1,...,m-1$} $\times${$0,1,...,n-1$}. La biyección vendría dada por $a\mapsto (a{\bmod {b}},a$ div $m)$.

El principio puede generalizarse a tres o más conjuntos obteniéndose: $|A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{m}|=|A_{1}|\cdot |A_{2}|...|A_{m}|$

Además, este principio puede ser enunciado de la siguiente manera:

Si una tarea podemos dividirla en dos o más tareas consecutivas de forma que hay $n_{1}$ formas de realizar la primera tarea, y $n_{2}$ formas de realizar la segunda tarea, entonces hay $n_{1}n_{2}$formas de completar la tarea.

Generalización del principio de Inclusión-Exclusión

Sea S un conjunto finito $|S|=N$ y $p_{1},p_{2},...,p_{k}$ una colección de propiedades o condiciones que son cumplidas por al menos un elemento del conjunto S.

Se indica mediante ${\overline {p_{i}}}$ que no cumpla la propiedad $p_{i}$.

De esta manera $N(p_{i})$ es el número de elementos de S que cumplen $p_{i}$ y $N({\overline {p_{i}}})=N-N(p_{i})$ es el número de elementos de S que no cumplen $p_{i}$.

El número de elementos de S que no cumplen ninguna propiedad $p_{i},1\leq i\leq k$ será: ${\overline {N}}=N({\overline {p}}_{1}{\overline {p}}_{2}{\overline {p}}_{3}...{\overline {p}}_{k})$ ${\overline {N}}=N-\sum _{1\leq i\leq k}N(p_{i})+\sum _{1\leq i,j\leq k}N(p_{i}p_{j})+...+(-1)^{k}N(p_{1}p_{2}...p_{k})$

Este principio puede llevarse a un caso de la vida cotidiana como el siguiente ejemplo: ¿De cuántas formas se puede dar una mano de póker, de cinco cartas, de modo que contenga, al menos, una carta de cada palo?

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales exactas

A lo largo de esta sección, se encontrarán ecuaciones diferenciales escritas como: $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ y $y'=-{P(x,y) \over Q(x,y)}$ sin aplicar ninguna distinción entre la primera y segunda ecuación.

Se supondrá que P y Q son funciones definidas en un rectángulo abierto $R$ en $\mathbb {R} ^{2}$ no nulas a la vez.

La importancia de la exactitud reside en que $F(x,y)=c$ es una familia de curvas integrales deduciéndose derivando implícitamente respecto a x: $F_{x}+F_{y}y'=0$, por tanto, $F(x,y)=c$ satisface $y'=-{P(x,y) \over Q(x,y)}$.

Un criterio que puede emplearse para saber con exactitud cuando una ecuación es diferencial exacta es partiendo que P y Q son funciones continuas y tienen derivadas parciales primeras continuas en R. Si la ecuación $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ es diferencial exacta, entonces, se demuestra que $P_{y}=Q_{x}$ en R.

Suponiendo que $P_{y}=Q_{x}$ en R y buscamos F tal que $F_{x}=$ P y $F_{y}=Q$. Integrando la ecuación $F_{x}=$ P respecto a x: $F(x,y)=\int P(x,y)dx+C(y)$ donde C(y) es la constante de integración dependiente de y.

Imponiendo la condición $F_{y}=Q$ se obtiene: $C'(y)=Q(x,y)-{\partial \over \partial y}\int P(x,y)dx$ donde, aplicando $P_{y}=Q_{x}$, la parte derecha de la igualdad es una función de la variable y independiente de x.

Finalmente:

Se dice que la ecuación es diferencial exacta si existe una función R $rightarrow$ $\mathbb {R}$ derivable tal que $F_{x}(x,y)=P(x,y)$ y $F_{y}(x,y)=Q(x,y)$ $\forall (x,y)\in R$

$F(x,y)=\int P(x,y)dx+\int (Q(x,y)-{\partial \over \partial y}\int P(x,y)dx)dy$

De esta manera se ha obtenido un método tras calcular las curvas integrales de una ecuación diferencial exacta $F(x,y)=c$ demostrando el teorema enunciado anteriormente.

Crecimiento de poblaciones

Entorno al siglo XVIII se quería conocer el modo en que la población variaba para predecir posibles cambios. Es por ello que el economista T. Malthus propone lo siguiente:

Los nacimientos y las muertes, en un intervalo de tiempo pequeño, son proporcionales al tamaño de la población y al intervalo de tiempo.

Se impone que $nacimientos=\alpha \Delta tN(t)$ y $muertes=\beta \Delta tN(t)$ con $N(t)=$ tamaño de la población en el tiempo t.

La variación de la población en un intervalo de tiempo ${\ce {\Delta t}}$ es $\Delta N(t)=\gamma N(t)\Delta t$ con $\gamma =\alpha -\beta$.

Empleando el límite cuando $\Delta t\rightarrow 0$ se obtiene el modelo matemático: ${dN \over dt}=\gamma N$

Al resolver la ecuación anterior de variables separadas, considerando que en $t=0$ el tamaño de la población es $N_{0}$, se obtiene que la población en el instante t está dada por $N(t)=N_{0}e^{\gamma t}$. Esta equivalencia informa que, si $\gamma <0$ la población se va extinguiéndose, si $\gamma =0$ la población se mantiene constante y si $\gamma >0$ la población crece exponencialmente.

Los valores ${\ce {N_0}}$ y $\gamma$ se calculan para cada población tomando dos medidas en dos instantes de tiempo distintos. Es importante observar que un pequeño error en el recuento de los datos nos lleva a distintos valores de las constantes $\gamma$ o $N_{0}$ que pueden ser significativos y cambiar de forma considerable los resultados del modelo para tiempos grandes.

Tomando un ejemplo real. para la población en USA se obtiene:

Año	Población USA
1790	$N(t)=3.9\times 10^{6}e^{0.307t}$
1800	$N(t)=5.3\times 10^{6}e^{0.307t}$
1810	$N(t)=7.2\times 10^{6}e^{0.307t}$
1820	$N(t)=9.6\times 10^{6}e^{0.307t}$
1830	$N(t)=12.9\times 10^{6}e^{0.307t}$
1840	$N(t)=17.1\times 10^{6}e^{0.307t}$
1850	$N(t)=23.2\times 10^{6}e^{0.307t}$
1860	$N(t)=31.4\times 10^{6}e^{0.307t}$
1870	$N(t)=38.6\times 10^{6}e^{0.307t}$
1880	$N(t)=50.2\times 10^{6}e^{0.307t}$
1890	$N(t)=62.9\times 10^{6}e^{0.307t}$
1900	$N(t)=76\times 10^{6}e^{0.307t}$
1910	$N(t)=92\times 10^{6}e^{0.307t}$
1920	$N(t)=106.5\times 10^{6}e^{0.307t}$
1930	$N(t)=123.2\times 10^{6}e^{0.307t}$

$N(t)=$Verhulst propone unas modificaciones al modelo de Malthus:

Por tanto, el modelo matemático tiende a ser: ${dN \over dt}=\gamma N(1-{N \over N_{\infty }})$ y, tras realizar una integración de este modelo, se obtiene el tamaño de la población el cual es:

Para la población de USA se calculan de forma aproximada los valores de Verhulst:

$N(t)=3.9\times 10^{6}e^{0.307t}$, $N_{\infty }=197\times 10^{6}$ y $\gamma =0.3134$.

La población no puede crecer ilimitadamente sino que tiende a estabilizarse en un límite $N_{\infty }$ y la variación de población es proporcional a la población N y al factor $1-{N \over N_{\infty }}$.

$N(t)=$ $N_{0}N_{\infty } \over {N_{0}+(N_{\infty }-N_{0})e^{-\gamma t}}$

Tras comparar los valores obtenidos con el modelo de Verhulst con la población real se aprecia que esta supera ligeramente a la cantidad predicha por el modelo y, por tanto, exista la posibilidad de tener que realizar alguna modificación en dicho modelo para poder predecir adecuadamente el tamaño de la población para tiempos futuros.

Modelo discreto exponencial modificado

El modelo de crecimiento discreto exponencial ha sido empleado para estudiar la evolución de una población. Para ello, se ha considerado el sistema como cerrado para poder trabajar con una tasa neta de crecimiento, no obstante, el modelo puede modificarse para tener en cuenta el hecho de la inmigración y de la emigración.

Se puede partir de una población $x_{k}$ que crece de acuerdo al modelo discreto exponencial asumiendo además que el número de personas que entran y que salen en cada intervalo de tiempo es constante: $e-s=\mu$. Mediante la ecuación en diferencias puede modelarse:

Donde $k=0,1,2...$, y r supone la tasa de crecimiento. Conociendo estos datos y la población inicial $x_{0}$ puede encontrarse una expresión general de $x_{k}$:

• $x_{1}=(1+r)x_{0}-\mu$
• $x_{2}=(1+r)x_{0}-\mu =(1+r)((1+r)x_{0}-\mu )-\mu =(1+r)^{2}x_{0}-((1+r)+1)\mu$
• $x_{3}=(1+r)^{3}x_{0}-((1+r)^{2}+(1+r)+1)\mu$
• …
• …
• $x_{k}=(1+r)^{k}x_{0}-((1+r)^{k-1}+(1+r)^{k-2}+...+(1+r)+1)\mu$

Aplicando la fórmula que proporciona el resultado de la suma de un número finito de términos de una progresión geométrica se obtiene:

$x_{k}=(1+r)^{k}x_{0}-$ ${{(1+r)^{k}-1} \over {r}}\mu$

Esta expresión es más complicada que la correspondiente al modelo discreto exponencial simple. A pesar de haber obtenido una expresión para $x_{k}$ en función de $x_{0}$, r y $\mu$ se debe remarcar que normalmente este procedimiento sobrepasa la dificultad actual y, por este motivo, se realiza un estudio del comportamiento cualitativo del modelo, verbigracia, a través de su diagrama de Cobweb.

Crecimiento dependiente de la densidad de población

El análisis del modelo discreto exponencial y el sentido común informa que este tipo de crecimiento no puede mantenerse durante mucho tiempo.

En la gran parte de los casos, se llega a un momento donde la población se regula. Se han propuesto diversas hipótesis para explicar las razones que originan este autocontrol poblacional entre otras causas como la cantidad de alimento disponible, depredadores, parásitos, etc.

Entre las causas anunciadas nos centraremos en estudiar la cantidad de recursos disponibles como factor dependiente de la densidad de la población la cual se regula de forma automática. Un modelo apropiado para describir poblaciones de animales que viven en un año, se reproducen y luego mueren es de la forma: $x_{k+1}=f(x_{k})$ donde $k=0,1,2,...$ donde $f$ proporciona el número de individuos para el próximo año en términos del número de individuos actuales.

Se han propuesto diferentes modelos modificando únicamente la función $f$, verbigracia, en el estudio del caos se trabaja con el modelo de May cuya función $f$: $f(x)=cx(1-x)$

El modelo de crecimiento discreto logístico

En 1913 T. Carlson estudió el crecimiento de un cultivo de levadura, la siguiente tabla muestra los datos obtenidos en una hora:

Tiempo	Población	Tiempo	Población	Tiempo	Población
1	9.6	7	174.6	13	594.8
2	18.3	8	257.3	14	629.4
3	29	9	350.7	15	640.8
4	47.2	10	441	16	651.1
5	71.1	11	513.3	17	655.9
6	119.1	12	559.7	18	659.6

Se observa que la población no sigue un modelo de crecimiento discreto exponencial, ya que a partir de cierto momento la población se estabiliza y no crece exponencialmente.

Es necesario que la función $f(x)$ del sistema discreto dinámico $x_{k+1}=f(x_{k})$ sea cuadrática en lugar de una ecuación lineal.

Este nuevo modelo se conoce con el nombre de modelo discreto logístico, y viene expresado de la manera: $x_{k+1}=x_{k}+rx_{k}$ $({1-x_{k} \over M})$ donde $k=0,1,2,...$

Para valores pequeños de la población $1-{x_{k} \over M}\thickapprox 1$ y el modelo coincide con el crecimiento exponencial, no obstante, para valores de población $x_{k}\thickapprox M$ supone que $x_{k+1}\thickapprox x_{k}$. El parámetro M recibe el nombre de capacidad de carga de la población.

Modelo discreto para la pesca

Durante los últimos años, los modelos discretos han sido muy utilizados en el diseño de estrategias para la pesca demostrándose que son muy útiles para evaluar

diversas tácticas de capturas de peces con un doble objetivo:

• Maximizar los beneficios
• Realizar una explotación de recursos mantenidos en el tiempo

Se supone que la densidad de la población en ausencia de capturas viene dada por:

$x_{k+1}=f(k_{x})$ donde $k=0,1,2,...$

Si se supone que $\epsilon (k)$ es la captura realizada en la población en el tiempo $k$ la cual es la que genera la población en el tiempo $k+1$, entonces, el modelo que estudia la dinámica de la población viene dado por:

$x_{k+1}=f(x_{k})-\epsilon (k)$ donde $k=0,1,2,...$

En este punto se pueden plantear un par de preguntas:

1. ¿Cuál es el máximo rendimiento biológico sostenible $Y_{M}$?
2. ¿Cuál es el máximo rendimiento económico $E_{M}$?

Si se descubren los puntos de equilibrio de $x_{k+1}=f(x_{k})-\epsilon (k)$ se deduce que:

$x^{*}=f(x^{*})-\epsilon ^{*}\Rightarrow \epsilon ^{*}=f(x^{*})-x^{*}$

Si el máximo rendimiento sostenible del punto de equilibrio $Y_{M}$ se alcanza cuando $x^{*}$ toma el valor $x_{M}$, entonces, su valor puede encontrarse realizando:

${\partial \epsilon *} \over {\partial x^{*}}$ $=0\Rightarrow f'(x)=1$

El valor $Y_{M}$ pues equivaldrá a: $Y_{M}=f(x_{M})-x_{M}$. Esta situación es importante únicamente cuando $Y_{M}\geq 0$.

Una estrategia podría ser mantener la población de peces en estos niveles con el objetivo de hacer máxima la captura $Y_{M}$, no obstante, debido a la dificultad de tener un conocimiento exacto de la población actual de peces, entonces, este método puede ser difícil llevarlo a la práctica. Por esta razón, es más interesante formular el problema de optimización en términos de capturas y esfuerzos.

Supongamos que el esfuerzo para capturar un pez, de una población $x$ es $ax$ donde $a$ es el parámetro de captura, entonces, el esfuerzo para reducir $x$ en 1 unidad es $1 \over ax$ y para reducir $f(x)$ en una unidad es $1 \over af(x)$. En consecuencia, el esfuerzo $E_{M}$ para obtener la captura $Y_{M}=f(x_{M})-x_{M}$ es:

$E_{M}=\textstyle \sum _{x_{i}=x_{M}}^{f(x_{M})}\displaystyle {ax_{i}}^{-1}$

Frecuentemente los valores de este sumatorio son de tal manera que se pueden aproximar por la siguiente integral:

$E_{M}\approx \int _{x_{M}}^{f(x_{M})}{1 \over x}dx={1 \over a}\ln({f(x_{M}) \over x_{M}})$

$Y_{M}=f(x_{M})-x_{M}$ y $E_{M}\approx \int _{x_{M}}^{f(x_{M})}{1 \over x}dx={1 \over a}\ln({f(x_{M}) \over x_{M}})$ nos proporciona la relación de $Y_{M}$ y $E_{M}$ en función de $x$.

Ejercicio a modo de ejemplo

Pueden aplicarse estos resultados a un modelo concreto, conocido como disco de Holling, que viene definido por:

Condición del modelo de Holling $x_{k+1}={{\beta x_{k}} \over {\alpha +x_{k}}}$ , $0<\alpha <\beta$

Lo primero a realizar será calcular el valor de $x_{M}$ resolviendo: $f'(x_{M})=1$.

En otras palabras: $1=({{\beta x_{M}} \over {\alpha +x_{M}}})'={{\alpha \beta } \over {(\alpha +x_{M})^{2}}}\Rightarrow x_{M}={\sqrt {\alpha }}({\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\alpha }})$

Si reemplazamos en las ecuaciones $Y_{M}=f(x_{M})-x_{M}$ y $E_{M}\approx \int _{x_{M}}^{f(x_{M})}{1 \over x}dx={1 \over a}\ln({f(x_{M}) \over x_{M}})$ obtenemos:

$Y_{M}={{\beta x_{M}} \over {\alpha +x_{M}}}-x_{M}$ ${\displaystyle }$ $E_{M}={{1 \over a}\ln({\beta \over \alpha +x_{M}})}$

En este ejemplo se pueden eliminar entre las dos expresiones $x_{M}$ y obtener una relación explícita entre $Y_{M}$ y $E_{M}$ :

$Y_{M}=(\beta e^{-cE_{M}}-\alpha )(e^{cE_{M}}-1)$