En análisis funcional, una rama de las matemáticas, el interior algebraico o núcleo radial de un subconjunto de un espacio vectorial es un refinamiento del concepto de interior.
Supóngase que
es un subconjunto de un espacio vectorial
El interior algebraico (o núcleo radial) de
con respecto a
es el conjunto de todos los puntos en los que
es un conjunto radial.
Un punto
se llama punto interno de
[2] y se dice que
es radial desde
si por cada
existe un número real
tal que por cada
Esta última condición también se puede escribir como
donde el conjunto
![{\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x~:=~\left\{a_{0}+tx:t\in [0,t_{x}]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/358073de6ecb8ba88644038fc85a7285175a7939)
es el segmento rectilíneo (o intervalo cerrado) que comienza en
y termina en
. Este segmento es un subconjunto de
, que es el rayo que emana de
en la dirección de
(es decir, paralelo a/una traslación de
).
Por lo tanto, geométricamente, un punto interior de un subconjunto
es un punto
con la propiedad de que en cada dirección (vector) posible
contiene algún segmento rectilíneo (no degenerado) que comienza en
y se dirige en esa dirección (es decir, un subconjunto del rayo
).
El interior algebraico de
(con respecto a
) es el conjunto de todos esos puntos. Es decir, es el subconjunto de puntos contenidos en un conjunto dado respecto del cual los puntos del conjunto son radiales.[3]
Si
es un subespacio lineal de
y
, entonces esta definición se puede generalizar al interior algebraico de
con respecto a
es:
![{\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A:=\left\{a\in X:{\text{ para todo }}m\in M,{\text{ existe algún }}t_{m}>0{\text{ tal que }}a+\left[0,t_{m}\right]\cdot m\subseteq A\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06525da54ee17e5fcf1bcd975811f27607f83e7f)
donde
siempre se cumple y si
, entonces
donde
es la envolvente afín de
(que es igual a
).
Cierre algebraico
Se dice que un punto
es linealmente accessible de un subconjunto
si existe algún
tal que el segmento rectilíneo
esté contenido en
.
El cierre algebraico de
con respecto a
, indicado por
, consta de
y todos los puntos en
a los que se puede acceder linealmente desde
.
Interior algebraico (núcleo)[editar]
En el caso especial en el que
, el conjunto
se denomina interior algebraico o núcleo de
y se denota por
o
.
Formalmente, si
es un espacio vectorial, entonces el interior algebraico de
es[6]
![{\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A:=\operatorname {\text{núcleo}} (A):=\left\{a\in A:{\text{ para todo }}x\in X,{\text{ existe algún }}t_{x}>0,{\text{ tal que para todo }}t\in \left[0,t_{x}\right],a+tx\in A\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60340d2496485a35077dde90194a1b1c0d945d3c)
Si
no está vacío, entonces estos subconjuntos adicionales también son útiles para los enunciados de muchos teoremas en el análisis funcional convexo (como el teorema de Ursescu):
![{\displaystyle {}^{ic}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{si }}\operatorname {aff} A{\text{ es un conjunto cerrado,}}\\\varnothing &{\text{en caso contrario}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a4101157540124aeb61e23878c890aee4fa85d)
![{\displaystyle {}^{ib}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{si }}\operatorname {expan} (A-a){\text{ es un subespacio lineal abarrilado de }}X{\text{ para cualquier/todo }}a\in A{\text{,}}\\\varnothing &{\text{en caso contrario}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cca8d15ecb502d5b417117b67d7c7327c0adc88)
Si
es un espacio de Fréchet,
es convexo y
está cerrado en
, entonces
pero en general es posible tener
mientras
es no vacío.
Si
, entonces
pero
y
Propiedades del núcleo[editar]
Supóngase que
- En general,
Pero si
es convexo, entonces:
y
- para todos los
y luego ![{\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {\text{núcleo}} A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46cd4470ceda067b34d9f7c6c964d136f0b57371)
es un subconjunto absorbente de un espacio vectorial real si y solo si
[3]
si
Tanto el núcleo como el cierre algebraico de un conjunto convexo son nuevamente convexos.
Si
es convexo,
y
, entonces el segmento rectilíneo
está contenido en
Relación con el interior topológico[editar]
Sea
un espacio vectorial topológico,
denota el operador interior y
. Entonces:
![{\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {\text{núcleo}} A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c965194593673567f6e76a8bc3f9be1bfb13e35)
- Si
es convexo no vacío y
es de dimensión finita, entonces
- Si
es convexo con interior no vacío, entonces
[8]
- Si
es un conjunto convexo cerrado y
es un espacio métrico completo, entonces
[9]
Interior algebraico relativo[editar]
Si
, entonces el conjunto
se denota por
y se llama el interior algebraico relativo de
. Este nombre surge del hecho de que
si y solo si
y
(donde
si y solo si
).
Interior relativo[editar]
Si
es un subconjunto de un espacio vectorial topológico
, entonces el interior relativo de
es el conjunto
![{\displaystyle \operatorname {rint} A:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} A}A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f133c3f320eb16256836e0baff6129733e7b9ee)
Es decir, el interior topológico de A en
es el subespacio lineal afín más pequeño de
que contiene a
. El siguiente conjunto también es útil:
![{\displaystyle \operatorname {ri} A:={\begin{cases}\operatorname {rint} A&{\text{si }}\operatorname {aff} A{\text{ es un subespacio cerrado de }}X{\text{,}}\\\varnothing &{\text{en caso contrario}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc8f7851c3597e407c27f1b93a37c2af108c575)
Interior cuasi relativo[editar]
Si
es un subconjunto de un espacio vectorial topológico
, entonces el interior cuasi relativo de
es el conjunto
![{\displaystyle \operatorname {qri} A:=\left\{a\in A:{\overline {\operatorname {cone} }}(A-a){\text{es un subespacio lineal de }}X\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c512d07a7a96b7fafeefd2f1525d09cc55dbc1cc)
En un espacio vectorial topológico de dimensión finita de Hausdorff,
Véase también[editar]
Referencias[editar]
- ↑ John Cook (21 de mayo de 1988). «Separation of Convex Sets in Linear Topological Spaces». Consultado el 14 de noviembre de 2012.
- ↑ a b Jaschke, Stefan; Kuchler, Uwe (2000). Coherent Risk Measures, Valuation Bounds, and (
)-Portfolio Optimization.
- ↑ Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ (1992). Functional analysis I: linear functional analysis. Springer. ISBN 978-3-540-50584-6.
- ↑ Kantorovitz, Shmuel (2003). Introduction to Modern Analysis. Oxford University Press. p. 134. ISBN 9780198526568.
- ↑ Bonnans, J. Frederic; Shapiro, Alexander (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer series in operations research, Springer, Remark 2.73, p. 56, ISBN 9780387987057 ..
Bibliografía[editar]
- Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (Third edición). Berlin: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC 262692874.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations (First edición). San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
- Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Convex Analysis in General Vector Spaces (J). River Edge, N.J. London: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556. OCLC 285163112.