Cuantificador

En Teoría de conjuntos, un cuantificador se utiliza para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen tres tipos de cuantificadores, cuyas características resumimos en la siguiente tabla:

• Cuantificador universal

$\forall \,x,y\ldots$

Para todo x, y...

• Cuantificador existencial

$\exists \,x,y\ldots$

Existe/n por lo menos un/os x, y...

• Cuantificador existencial único

$\exists !\,x,y\ldots$

Existe un único x, y...

• Negación del cuantificador existencial

$\nexists \,x,y\ldots$

No existe ningún x, y...

Declaraciones cuantificadas

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma:

• $\forall \,x\in \mathbb {R} \;,\quad 2x\in \mathbb {R}$

Para todo x que pertenece a R, se cumple que 2x pertenece a R.

• $\forall \,a\in \mathbb {R} ,\quad \exists \,x\in \mathbb {R} \;:\quad a<x<(a+1)$

Para todo a que pertenece a R, existe x que pertenece a R, que esta comprendido entre a y a+1.

• $\forall \,a\in \mathbb {R} -{0},\quad \exists !\,x\in \mathbb {R} \;:\quad a\cdot x=1$

Para todo a que pertenece a R diferente de cero, existe un único x que pertenece a R, que cumple que a por x es igual a 1.

Proposiciones

Proposición 1.

El cuantificador universal, representado por $\forall$. Este cuantificador se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto que cumplen una determinada propiedad. Se escribe:

$\forall \,x\in A\quad p(x)$.

La proposición 1 suele usarse como la equivalente de la proposición siguiente:

$\{x\in A\mid \quad p(x)\}\ =A$

Proposición 2.

El cuantificador existencial se usa para indicar que hay un/os elemento/s en el conjunto $~A$ (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Se escribe:

$\exists \,x,y\in A\quad p(x),p(y)$.

La proposición 2 suele interpretarse como la equivalente de la proposición siguiente:

$\{x,y\in A\mid \quad p(x),p(y)\}\neq \emptyset$

Proposición 3.

El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un/os elemento/s de un conjunto $~A$ que cumple/n una determinada propiedad, y es/son único/s. Se escribe:

$\exists !\,x,y\in A\quad p(x),p(y)$.

Equivalencias

Se definen:

$\neg (\forall _{x\in A}\quad p(x))\qquad \Leftrightarrow \qquad \exists _{x\in A}\quad \neg p(x)$

$\neg (\exists _{x\in A}\quad p(x))\qquad \Leftrightarrow \qquad \forall _{x\in A}\quad \neg p(x)$

Véase también

• Teoría de conjuntos
• Lógica proposicional