Vector

Un vector en el plano cartesiano, se muestra la dirección del origen al punto A con las coordenadas (2,3).

En matemáticas, un vector es un elemento de una estructura algebraica llamada espacio vectorial, que es representada gráficamente con una flecha y esencialmente es un conjunto de elementos con un conjunto de axiomas que debe satisfacer cada uno de ellos. El espacio vectorial más pequeño es el {0} y no hay ninguno que los contenga a todos, ya que cualquier espacio vectorial puede constar de infinitos elementos; por ejemplo, el conjunto de los números reales. Matemáticamente un vector puede ser también un conjunto de elementos ordenados entre sí pero a diferencia de un conjunto normal como el de los números naturales, éste está ordenado.

Definición

Se llama vector de dimension n a una tupla de n números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión n se representa como $\mathbb {R} ^{n}$ (formado mediante el producto cartesiano).

Así, un vector v perteneciente a un espacio Rⁿ se representa como $v\in \mathbb {R} ^{n}$, donde $v=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})$.

Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional $\mathbb {R} ^{3}$ ó bidimensional $\mathbb {R} ^{2}$).

Un vector fijo del plano es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:

• dirección: la de la recta que lo contiene
• sentido: el que va de su origen a su extremo, marcado por una punta de flecha
• módulo: la longitud del segmento

Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo AB, que indican su origen y extremo respectivamente.

${\overrightarrow {AB}}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\,$

Operaciones y propiedades

Suma de vectores

La suma ó adición de vectores es una operación interna.

$+:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$

Dados dos vectores, $a,b\in \mathbb {R} ^{n}$. $a=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})$ y $b=(b_{1},b_{2},b_{3},\dots ,b_{n})$. Se define la suma como:

$a+b=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3},\dots ,a_{n}+b_{n})$

Producto escalar de vectores

El producto escalar de vectores es una operación externa.

$\bullet :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

Dados dos vectores, $a,b\in \mathbb {R} ^{n}$. $a=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})$ y $b=(b_{1},b_{2},b_{3},\dots ,b_{n})$.

Se representa mediante un punto y se define como:

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=|{\vec {A}}||{\vec {B}}|\cos \theta$

También lo podemos expresar a partir de sus coordenadas como:

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=(a_{1},a_{2},a_{3})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

Producto de un escalar por un vector

El producto de un escalar por un vector es una operación externa.

$\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$

El producto de un número escalar cualquiera $\lambda \in \mathbb {R}$ por un vector $a\in \mathbb {R} ^{n};a=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})$ se define como:

$\lambda \cdot a=\lambda \cdot (a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\lambda a_{3},\dots ,\lambda a_{n})$

Propiedades fundamentales

Una vez definidas las operaciones principales, se muestran las propiedades fundamentales. Así, para todo a, b, c, u y v perteneciente a Rⁿ, y para todo λ, μ perteneciente a R, se tienen las siguientes propiedades:

• Propiedad Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
• Propiedad Conmutativa: a + b = b + a
• Elemento opuesto: a + (-a) = 0
• Elemento neutro: a + 0 = a
• λ(u + v) = λu + λv
• (λ + μ)a = aλ + aμ

Notación de un vector

Los vectores se representan mediante dos letras mayúsculas que desmontan el origen y el extremo de un vector, los cuales también superpuesta una flecha, también se puede señalar con una letra minúscula acompañada de una flecha en la parte superior.

Véase también

• Espacio vectorial
• Espacio euclídeo
• Espacio afín
• Espacio de funciones
• Tensor

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