Subconjunto

Sean A y B dos conjuntos tal que todo elemento de A es también elemento de B, entonces decimos que:

$A\subset B$

$B\subset A$

• A es un subconjunto de B;

$A\subseteq B$

• B es un superconjunto de A;

$B\supseteq A$

Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo. Cualquier subconjunto de A que no sea igual a A se denomina propio (cuando puede ser igual a A se denomina impropio). Si A es un subconjunto propio de B, escribimos:

$A\subset B$

De manera análoga si B es un superconjunto propio de A, escribimos:

$B\supset A$

El conjunto vacío, denotado como:

$\varnothing =\{\}$

es un subconjunto de cualquier conjunto. Además el conjunto vacío es siempre un subconjunto propio, excepto de sí mismo.

Diferentes notaciones

Se utilizan fundamentalmente dos sistemas de notación para subconjuntos. El sistema antiguo utiliza el símbolo "⊂" para referirse a cualquier subconjunto y "⊊" para referirse a los subconjuntos propios. El sistema moderno usa el símbolo "⊆" para indicar cualquier subconjunto y "⊂" para los subconjuntos propios. En esta enciclopedia preferiremos el sistema moderno, ya que sus símbolos pueden ser representados por mayor número de navegadores. De manera análoga se puede aplicar lo mencionado a los superconjuntos.

Ejemplos

• El conjunto {1, 2} es un subconjunto propio de {1, 2, 3}
• El conjunto de los números naturales es un subconjunto propio del conjunto de los números racionales.
• El conjunto {x: x es un número primo mayor que 2.000} es un subconjunto propio de {x: x es un número impar mayor que 1.000}.

Algunos resultados

Proposición 1: Dados tres conjuntos A, B y C, si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C.

Proposición 2: Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A.

Proposición 3: Para todo conjunto A, el conjunto vacío es un subconjunto de A.

Demostración: Dado cualquier conjunto A, queremos demostrar que {} es un subconjunto de A. Esto supone mostrar que todos los elementos de {} son elementos de A. Sin embargo, por definición, {} no tiene ningún elemento.

Para el matemático experimentado, la inferencia "{} no tiene elementos, así que todos los elementos de {} son elementos de A" es inmediata, pero puede ser más problemática para el principiante. Después de todo, como {} no tiene elementos, ¿cómo pueden "esos elementos" pertenecer a otro conjunto? Se puede razonar esto por contraposición. Para probar que {} no es un subconjunto de A, tendríamos que encontrar un elemento de {} que no esté en A. Como {} no tiene elementos, esto es imposible y por tanto {} es un subconjunto de A.

Conjunto potencia de un conjunto

Dado un conjunto S podemos construir el conjunto de todos los subconjuntos de S, tal conjunto recibe el nombre de el conjunto potencia de S, en símbolos se indica con

$\wp (S)=\{A\colon A\subseteq S\}$

Cuando el conjunto S tiene cardinalidad finita digamos #S=n entonces #$\wp (S)=2^{n}$

Véase también

• Teoría de conjuntos
• Conjunto
• Intersección de conjuntos
• Unión de conjuntos
• Diferencia de conjuntos
• Complemento de un conjunto