Principio del diamante

En matemáticas, y particularmente en teoría de conjuntos, el principio del diamante $◊$ ("diamondsuit" en inglés) es un principio combinatorio introducido por Ronald Jensen en 1972,^[1] que se cumple en el universo constructible ( $L$ ) y que implica la hipótesis del continuo. Jensen extrajo el principio del diamante de su prueba de que el axioma de constructibilidad ( $V = L$ ) implica la existencia de un árbol de Suslin.

Definiciones[editar]

El principio del diamante $◊$ dice que existe una secuencia ◊, una familia de conjuntos $A α \subseteq α$ para $α < ω 1$ tal que para cualquier subconjunto $A$ de ω₁ el conjunto de $α$ con $A \cap α = A α$ es estacionario en $ω 1$ .

Existen varias formas equivalentes del principio del diamante. Uno afirma que hay una colección contable $A α$ de subconjuntos de $α$ para cada ordinal contable $α$ , de modo que para cualquier subconjunto $A$ de $ω 1$ hay un subconjunto estacionario $C$ de $ω 1$ de modo que para todos los $α$ en $C$ se tiene que $A \cap α \in A α$ y $C \cap α \in A α$ . Otra forma equivalente establece que existen conjuntos $A α \subseteq α$ para $α < ω 1$ tales que para cualquier subconjunto $A$ de $ω 1$ hay al menos un $α$ infinito con $A \cap α = A α$ .

De manera más general, para un cardinal $κ$ dado y un conjunto estacionario $S \subseteq κ$ , la declaración $◊ S$ (a veces escrita $◊(S)$ o $◊ κ (S)$ ) es la declaración de que existe un sucesión $⟨ A α : α \in S ⟩$ tal que

Cada $A α \subseteq α$
Para cada $A \subseteq κ$ , ${α \in S : A \cap α = A α}$ es estacionario en $κ$

El principio $◊ ω 1$ es el mismo que $◊$ .

El principio del diamante plus $◊ +$ establece que existe una secuencia $◊ +$ , en otras palabras, una colección numerable $A α$ de subconjuntos de $α$ para cada ordinal contable α tal que para cualquier subconjunto $A$ de $ω 1$ hay un subconjunto ilimitado cerrado $C$ de $ω 1$ , de modo que para todos los $α$ en $C$ se tiene que $A \cap α \in A α$ y $C \cap α \in A α$ .

Propiedades y uso[editar]

Jensen (1972) demostró que el principio del diamante $◊$ implica la existencia del árbol de Suslin. También demostró que $V = L$ implica el principio del diamante plus, que implica el principio del diamante, que a su vez implica la hipótesis del continuo (HC). En particular, el principio del diamante y el principio del diamante plus son ambos independientes de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. También $♣ + HC$ implica $◊$ , pero Shelah dio modelos de $♣ + \neg HC$ , por lo que $◊$ y $♣$ no son equivalentes (más bien, $♣$ es más débil que $◊$ ).

Matet demostró que el principio $\diamondsuit _{\kappa }$ es equivalente a una propiedad de las particiones de $\kappa$ con intersección diagonal de los segmentos iniciales de las particiones estacionarias en $\kappa$ .^[2]

El principio del diamante $◊$ no implica la existencia de un árbol de Kurepa, pero el principio $◊ +$ más fuerte implica tanto el principio $◊$ como la existencia de un árbol de Kurepa.

Akemann y Weaver (2004) usó $◊$ para construir un $C *$ -álgebra que sirviera como contraejemplo para el problema de Naimark.

Para todos los cardinales $κ$ y conjuntos estacionarios $S \subseteq κ +$ , $◊ S$ se mantiene en universo constructible. Shelah (2010) demostró que para $κ > ℵ 0$ , $◊ κ + (S)$ se deriva de $2 κ = κ +$ para $S$ estacionario que no contiene ordinales de cofinalidad $κ$ .

Shelah demostró que el principio del diamante resuelve el problema de Whitehead al implicar que cada grupo de Whitehead es libre.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

↑ Jensen (1972)
↑ P. Matet, "On diamond sequences". Fundamenta Mathematicae vol. 131, iss. 1, pp.35--44 (1988)

Bibliografía[editar]

Akemann, Charles; Weaver, Nik (2004). «Consistency of a counterexample to Naimark's problem». Proceedings of the National Academy of Sciences 101 (20): 7522-7525. Bibcode:2004PNAS..101.7522A. MR 2057719. PMC 419638. PMID 15131270. arXiv:math.OA/0312135. doi:10.1073/pnas.0401489101.
Jensen, R. Björn (1972). «The fine structure of the constructible hierarchy». Annals of Mathematical Logic 4 (3): 229-308. MR 0309729. doi:10.1016/0003-4843(72)90001-0.
Rinot, Assaf (2011). «Jensen's diamond principle and its relatives». Set theory and its applications. Contemporary Mathematics 533. Providence, RI: AMS. pp. 125-156. Bibcode:2009arXiv0911.2151R. ISBN 978-0-8218-4812-8. MR 2777747. arXiv:0911.2151.
Shelah, Saharon (1974). «Infinite Abelian groups, Whitehead problem and some constructions». Israel Journal of Mathematics 18 (3): 243-256. MR 0357114. S2CID 123351674. doi:10.1007/BF02757281.
Shelah, Saharon (2010). «Diamonds». Proceedings of the American Mathematical Society 138 (6): 2151-2161. doi:10.1090/S0002-9939-10-10254-8.

Datos: Q1734160

[1] Jensen (1972)

[2] P. Matet, "On diamond sequences". Fundamenta Mathematicae vol. 131, iss. 1, pp.35--44 (1988)

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