Diferencia entre revisiones de «Matemáticas»

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Hoy en día, las Matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las [[ciencias naturales]], la [[ingeniería]], la [[medicina]] y las [[ciencias sociales]], e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la [[música]] (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las [[matemáticas aplicadas]], rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las [[matemáticas puras]], sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.<ref>Peterson</ref>
Hoy en día, las Matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las [[ciencias naturales]], la [[ingeniería]], la [[medicina]] y las [[ciencias sociales]], e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la [[música]] (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las [[matemáticas aplicadas]], rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las [[matemáticas puras]], sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.<ref>Peterson</ref>


== Etimología ==
ICOTS6, 2002: Batanero & Godino
La palabra '''"matemática"''' (del griego μαθηματικά, «lo que se aprende») viene del griego antiguo μάθημα (''máthēma''), que quiere decir «campo de estudio o instrucción». El significado se contrapone a μουσική (''musiké'') «lo que se puede entender sin haber sido instruido», que refiere a poesía, retórica y campos similares, mientras que μαθηματική se refiere a las áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas (astronomía, aritmética).<ref name="Heath">
1
{{cita libro
TRAINING FUTURE RESEARCHERS IN STATISTICS EDUCATION: REFLECTIONS
| apellidos = Heath
FROM THE SPANISH EXPERIENCE 
| nombre = Thomas
Carmen Batanero and Juan D. Godino
| título = A History of Greek Mathematics.
University of Granada
| año = 1921
Spain
| editorial = Oxford, Clarendon Press
A main point to assure the future of statistics education research is the training of researchers
| id = {{OCLC|2014918}}
through the Master's and Doctoral Programmes. Since in the majority of countries there are no
}}</ref> Aunque el término ya era usado por los pitagóricos en el siglo VI&nbsp;a.&nbsp;C., alcanzó su significado más técnico y reducido de "estudio matemático" en los tiempos de [[Aristóteles]] (siglo IV&nbsp;a.&nbsp;C.). Su adjetivo es μαθηματικός (''mathēmatikós''), "relacionado con el aprendizaje", lo cual, de manera similar, vino a significar "matemático". En particular, μαθηματική τέχνη (''mathēmatikḗ tékhnē''; en latín ''ars mathematica''), significa "el arte matemática".
specific departments of Statistics Education, this training is carried out from Mathematics

Education, Statistics, Education, Psychology and other related departments, and even there
La forma plural ''matemáticas'' viene de la forma latina ''[[:la:mathematica|mathematica]]'' ([[Marco Tulio Cicerón|Cicerón]]), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (''ta mathēmatiká''), usada por [[Aristóteles]] y que significa, a grandes rasgos, "todas las cosas matemáticas".
starting a line of research in statistics education is not an easy task, due to the lack of trained
supervisors, specific bibliography and funds. In this presentation I will describe the experience of
starting the first Doctoral Programme in Mathematics Education at the University of Granada,
and developing there a research group in statistics education. The contents of the Doctoral
Programme will be analysed as a first step to establish what an ideal programme for training
future researchers in statistics education would be.
TRAINING OF RESEARCHERS IN STATISTICS EDUCATION
One main goal of the IASE is to promote research related to teaching and learning
statistics. As described in Jolliffe (1998), we still need to achieve academic recognition in the
different disciplines or programmes where we work. In Batanero, Garfield, Ottaviani, and Truran
(2000) and following discussion a group of researchers in Statistics Education reflected on their
views about what research is and about the main research questions that statistics education
research should address in the forthcoming years. In that paper we recognised that there is a
considerable amount of experience in the world about conducting research into statistical
education. We also suggested that we may now be at a stage where it would be possible to
develop some general principles about what background knowledge we need in order to conduct
quality research in statistical education and about how might we best train researchers to conduct
research in statistical education.
In the ICMI Study What is research in Mathematics Education and what are its results?
(Sierpisnka & Kilpatrick, 1998) it was recognised that scientific research should be guided by
principles, theories and conceptual frameworks. Furthermore, obtaining a relevant research result
(Nissen & Blomhoj, 1993) requires systematic and disciplined methodology to ensure the
research validity and reliability. We can translate these ideas to statistics education and then two
basic components of a Master’s or doctorate program in statistics education are the theoretical and
methodological courses.
Below we reflect on our experience in organizing a doctorate program in Mathematics
Education at the University of Granada, and starting there a research group in statistics education,
where 9 doctoral dissertation have been carried out in the period 1988-2001 and others are in
progress. We also take into account the analysis of 91 programs in Mathematics Education from
different countries (Batanero, Godino, et al., 1994) and our experience in teaching doctoral or
Master’s courses in several Spanish and South American universities.
THE DOCTORAL PROGRAMME AT THE UNIVERSITY OF GRANADA
The Doctoral Programme in Mathematics Education at the University of Granada was
started in 1988, with only three lecturers in charge of teaching the courses and supervising
research, one of them coming from the Department of Statistics and with no experience in
educational research. Fortunately we counted on the help of a very experienced French research
team in mathematics education: professors Michéle Artigue, Ives Chevallard, Regine Douady,
André Rouchier, coordinated by Guy Brousseau, who travelled to Granada to teach some of the
courses and helped in the orientation of the theses during the first four years of the programme.
Starting the doctoral programme would have been quite impossible without their help and no
doubt the influence of the French school in our research work is still visible.
ICOTS6, 2002: Batanero & Godino
2
There have been different regulations for doctoral programmes in Spain throughout this
period. From 1988 to 2000, students were asked to complete 320 hours of regular course work
and seminars, over two years part-time, with the possibility of spending up to 90 hours in the
second year to produce a preliminary written research monograph (similar to a Masters’ thesis).
In the new regulations, the amount of course work is reduced to 200 hours in the first year and the
second year is dedicated to produce a compulsory research monograph for a total of 120 hours.
When the student finishes these two years and his/her research work is approved, he must carry
out a Ph. D. dissertation (original research, supervised by a doctor expert in Mathematics
Education or a related field), which usually takes 2-4 more years to complete.
Students’ background
This Programme is offered within a Mathematics Education Department and most of the
students who throughout these years have carried out a thesis (24 at the moment) as well as other
students who are currently at different stages in their research are mathematicians. A few students
came from Education or Physics. In the last few years, we received South American students with
different background, although the majority still are related to mathematics. All the 9 students
who finished their doctoral thesis in statistics education took a speciality of statistics during the
University studies or have been teaching statistics for a number of years before entering the
programme. These students then had a solid basis in mathematics and theoretical statistics; the
majority of them were also acquainted with applied statistics, data analysis and statistical
software. As compared to their colleagues doing dissertations in other branches of mathematics
education, they had a better methodological background and were better prepared to analyse their
data and carry out an empirical research.
THEORETICAL CONTENTS IN THE PROGRAMME
Although some students have experience in educational research and in teaching
mathematics or statistics, the majority of them needed to complement their theoretical knowledge
about education and mathematics education. Two courses (60 hours) on Theory of Mathematics
Education include four main components. Although the discussion here is general, in the case of
students intending to produce a thesis in statistics education, the contents are contextualised to
this particular field.
Mathematics (Statistics) Education as a Scientific Discipline
We present a perspective of mathematics (statistics) education as a complex and
heterogeneous social system with three interrelated components:
1. Reflective practice about teaching and learning (teachers and lecturers).
2. Scientific research, which attempts to understand teaching in general, specific
didactic systems or its components (the teacher, the student, and the mathematical
and statistical knowledge).
3. Didactic technology, producing teaching materials to improve instruction.
The world of practice (teachers) is focused on a group of students. Scientific researchers
are engaged in building theoretical concepts. Didactic technology (or applied research) involved
the production of tools for action; this is the field for curriculum designers, text book writers, etc.
None of these three components operates independently from each other, nor is there a
hierarchical distinction between them, and moreover their frontiers are fuzzy. It is necessary to
make future researchers conscious of these distinctions, since most of them are University or
secondary school teachers with strong conceptions about practical problems.
Epistemological Foundations
The complexity of educational problems confronts mathematics and statistics education
with the dilemma of developing its own fundamental research to develop theories on which a
coherent and productive research agenda could be based. An essential question is whether we
should build an explicit conceptualisation about the nature of mathematical or statistical objects
(concepts, procedures, theories, etc.), and its development at an individual and institutional level.
As a part of our research work over the past 12 years and our theoretical reflections we started a
ICOTS6, 2002: Batanero & Godino
3
systematic inquiry into the nature, origin, meaning and understanding of mathematical objects
(Godino & Batanero, 1994, 1998). This conceptualisation is also applicable to statistical objects
and is based in the following assumptions:
􀂃 Mathematics is a human activity involving the solution of socially shared problematic
situations, internal or external to Mathematics.
􀂃 Mathematics is a symbolic language in which problems and solutions are expressed.
The systems of symbols, as culturally embodied, have a communicative function and
an instrumental role, which changes the very person who uses the symbols as
mediators.
􀂃 Mathematics is a logically organised and socially shared conceptual system.
From this theory, we proposes a research agenda for Mathematics and Statistics education
(Batanero & Godino, 2001) and applied these ideas in many of the statistics education theses that
have been carried out in Granada.
Teaching and Learning Theories
Mathematics (Statistics) Education is a scientific discipline supported by Epistemology,
Mathematics, Psychology, Sociology, etc. This makes it difficult to select the teaching and
learning theories to include in a program for the preparation of researchers. Because of their
specificity for mathematics education and our relation with this research group we particularly
take into account the theoretical results of the 'French school' of Didactic of Mathematics. We
also take into account recent tendencies in the philosophy of mathematics and in Mathematics
Education, as well as constructivist theories of learning.
Curricular Theories
We conceive the curriculum as an operative plan that specifies what students need to
know, what teachers should do to make their students develop their knowledge, and what contexts
would be appropriate for teaching and learning. We assume the following pedagogical
assumptions:
􀂃 The main goal of the teacher's action in the classroom is to help students develop
mathematical (statistical) reasoning, problem solving capacity, communication ability
and establishing relationships between mathematics (statistics) and other disciplines.
􀂃 Special attention should be paid to the organization of teaching. Careful selection of
tasks should provide students opportunities to explore relevant problems, formulate
conjectures, use various representations, and communicate with classmates.
􀂃 Students should recognize the level of development of mathematics (statistics) and its
applicability to other disciplines and human activities. The aim is the progressive
appropriation of knowledge, which is, students' construction of a network of concepts
and procedures, as well as the mastery of language.
Although the discussion is general, each student can choose a particular area (algebra,
statistics, probability to analyse). For the particular case of doctoral students trying to produce a
thesis in statistics education these ideas can be discussed using our books (Batanero, Godino, &
Navarro-Pelayo, 1994; Batanero, 2001; Godino, Batanero, & Cañizares, 1987), which contain
specific proposals for teaching Probability, Combinatorics, and Statistics according to the
assumptions described.
STATISTICS EDUCATION CONTENT IN THE PROGRAMME
The amount of specific courses in statistics education have increased from only a 30
hours course in statistics education in the period 1988-1994 to 3 different courses (didactics of
probability; didactics of data analysis; didactics of inference) with a total of 100 hours in the
period 2000-2002. These courses are intended to complement the general course of mathematics
education in providing a basic knowledge of statistics education as a specific research field,
present example of different types of research in this area and help student to identify possible
research problems to produce a dissertation in statistics education. Basic contents for these
courses are:
ICOTS6, 2002: Batanero & Godino
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􀂃 Current situation of Statistics Education: the IASE and ISI works, other associations,
conferences, journals, discussion lists and other sources of specific bibliographic
information.
􀂃 Epistemology of Stochastics: basic stochastical ideas, its historical genesis, different
conceptions and philosophical problems around them. Different approaches to
statistical inference; controversies around the use of inference and the problem of
validation for empirical knowledge; data analysis: main current approaches; statistical
modelling, experimenting, association and the search for causes.
􀂃 Cognitive development: constructivism, social interaction and the role of language.
Piaget’s stages in cognitive development: the case of randomness, probability and
other stochastic ideas. Fischbein’s ideas about intuitions and the role of instruction.
Recent research on social interaction in the classroom and its influence on children’s
development of stochastic ideas.
􀂃 The stochastic curriculum: reasons, aims and content of teaching stochastics at
different educational levels; didactic resources, technology, computers and the
Internet. Assessment; different assessment instruments. Methodologies for teaching
statistics and probability. Analysis of curricular materials and didactical units.
􀂃 Research into students understanding and learning: main theoretical frameworks in
statistics education research. Research on students' conceptions before instruction and
on conceptual change induced by specific teaching experiences; research on students’
strategies and errors in problem solving or in data analysis.
􀂃 Other research: attitudes, social factors, comparative studies, case studies, textbooks,
etc.
RESEARCH METHODOLOGY
During his /her research the student should produce measurement, survey, or observation
instruments, design educational interventions, collect and analyse data. Below we describe the
main methodological contents in the courses, which have ranged between 120 hours in the 1988-
1990 programme to 60 hours in the 2000-2002 programme.
Research paradigms: we discuss the notion of paradigm, and make a critical analysis of
the most relevant paradigms in educational research that can be situated between two extreme
positions. The positivist or process-product paradigm, which especially attempts to find laws and
test hypotheses about behaviours and procedures related to the students' academic achievement. It
is usually based on quantitative methods, systematic measurements, experimental designs, and
mathematical models. The interpretative or qualitative paradigm focused on searching for the
personal meaning of events, in studying the interaction between people and environment, as well
as the participants thoughts, attitudes and perceptions. It is associated with naturalistic
observations, case studies, narrative reports. In addition, the socio-critical paradigm tries to
connect research with practice.
The Research Process: When the student identifies a research area he/she needs to
systematically explore the bibliography and to focus progressively on one particular problem.
From the beginning he/ she has to decide on the particular approach or paradigm and define the
objectives and hypotheses, which will serve to select the variables and information needed. The
complexity of the problem might lead to reduce the number of independent and dependent
variables, and to control concomitant variables to guarantee the validity of conclusions.
Experimental and quasi-experimental techniques to assign subjects to different conditions, or to
develop questionnaires would be needed and sampling techniques should be applied to guarantee
representativeness and to increase generalisability. Time and effort dedicated to these themes are
very productive for doctoral students.
Data Collection: Subjects' mathematical knowledge is a complex system, not directly
observable, but should be inferred from their responses to assessment tasks. These empirical
indicators of the subject' s knowledge are qualitative and multidimensional. Consequently, we
need varied assessment tasks: questionnaires, problems, projects, individual interviews or
classroom observation. This diversity of data forces the researchers to choose different
observation, survey and measurement methods and techniques.
ICOTS6, 2002: Batanero & Godino
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Data Analysis: The study of the relations between the different variables in a research
requires a variety of data analysis techniques. Most researchers would require the collaboration of
expert statisticians to analyse their data. However, we try to provide every researcher with a basic
preparation that will allow him/her a certain degree of autonomy in the initial data analysis of
his/her own research; e.g., computing simple statistics or carrying out basic tests, to communicate
with and consult an expert statistician when they require more complex analyses and to
understand technical reports from the statistician. An important aim for future researchers is being
aware of the possibilities of new data analysis techniques. Although a narrative or interpretative
data analysis would be highly relevant in qualitative studies, this analysis could be complemented
by exploring the structure of interactions between variables, using correspondence analysis,
implicative analysis, cluster analysis, log-linear models, etc., which are applicable to qualitative
variables.
STARTING A RESEARCH GROUP IN STATISTICS EDUCATION
Starting in 1988 a doctoral programme with only three possible supervisors forced us to
concentrate the research topics on three basic research lines: Numerical Thinking, Theory of
Mathematics Education and Statistics Education. Two of the lecturers in charge of the programme
had carried out their dissertations in pure statistics and had extensive experience of statistics
consultancy work in different experimental research area, the field of statistics was familiar to
them in its different facets: teaching, applied and theoretical research. That experience had also
served to take consciousness of the problems in understanding and applying statistics and of the
interest to carry out didactical research in this area.
The fact that, after finishing their dissertations, our colleagues stayed in our department
or other cities close to Granada (Jaen, Melilla) served to increase the “critical mass” of lecturers
specialised in statistics education who could collaborate in supervising new students. From a few
starting problems: association, combinatorics, the test of hipotheses, we gradually moved to other
areas, such as probability or the normal distribution. Nine doctoral dissertation have been finished
in statistics education in this period and three more are currently in progress.
The doctoral programme at the University of Granada received a great support from
Spanish and other European academic authorities and this served to fund the visit from main
mathematics and statistics educators who gave us courses and discussed with us our research in
progress. Statistics education research received particular support through different funded
projects from the Spanish Ministry of Education. Another happy circumstance that served to
consolidate and impulse our work was the IASE decisions to hold the ICOTS-4 conference in
Marrakesh and the 1996 IASE Round Table Conference in Granada that helped to establish new
valuable contacts and collaborations that still continue. The list of theses, projects and
publications carried out in the group is available from our web page
http://www.ugr.es/local/batanero, which is also linked to the IASE and other statistics education
web servers.
FINAL REFLECTIONS
Having finished the training of all the members in our own department (where there are
now 18 lecturers with a Ph.D in mathematics or mathematics education, and also the training of
other colleagues in Andalusian universities (3 in Jaen, 2 in Cordoba, 2 in Malaga) we focus now
on the education of young students and South American colleagues, who, in the last years were
increasingly successful in getting a grant either from their own countries or from the AECI
(Spanish Agency for International Co-operation), OEI (Organisation of Iberoamerican States) or
other institutions. A number of doctoral dissertations by colleagues from Argentina, Colombia,
Chile, Mexico and Venezuela are being carried out in Granada. When returning to their countries
they usually take over responsibility for Master’s or doctoral programmes in education or in
mathematics education. It is then very likely that this collaboration can serve to spread
mathematics and statistics education research in South and Central America.
In this brief report we have reflected on our particular experience in the training of
researchers in statistics education from a mathematics education doctoral programme, which was
started with a lot of effort, but gradually developed to be the main research programme in
ICOTS6, 2002: Batanero & Godino
6
mathematics education in Spain and includes the larger statistics education research group in
Spain. International collaboration was very important at different stages to start up the doctoral
programme, and orientate the first theses. We hope this experience can encourage other
researchers to start new programmes even with modest initial resources and in this way can serve
to extend the interest towards statistics education research.


== Historia ==
== Historia ==

Revisión del 00:58 5 mar 2010

Euclides, matemático griego, del siglo III a. C., tal como fue imaginado por Rafael. Detalle de La Escuela de Atenas.[1]​

Las matemáticas o la matemática (del lat. mathematĭca, y éste del gr. μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es una ciencia que, a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos).[2]​ Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos buscan patrones,[3]​[4]​ formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.[5]​

Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o si provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamin Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias".[6]​ Por otro lado, Albert Einstein declaró que "cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad".[7]​

Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico (véase: Historia de la matemática). Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.

Hoy en día, las Matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.[8]​

Etimología

La palabra "matemática" (del griego μαθηματικά, «lo que se aprende») viene del griego antiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir «campo de estudio o instrucción». El significado se contrapone a μουσική (musiké) «lo que se puede entender sin haber sido instruido», que refiere a poesía, retórica y campos similares, mientras que μαθηματική se refiere a las áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas (astronomía, aritmética).[9]​ Aunque el término ya era usado por los pitagóricos en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido de "estudio matemático" en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es μαθηματικός (mathēmatikós), "relacionado con el aprendizaje", lo cual, de manera similar, vino a significar "matemático". En particular, μαθηματική τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē; en latín ars mathematica), significa "el arte matemática".

La forma plural matemáticas viene de la forma latina mathematica (Cicerón), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), usada por Aristóteles y que significa, a grandes rasgos, "todas las cosas matemáticas".

Historia

Artículo principal: Historia de la matemática

La evolución de la matemática puede ser considerada como el resultado de un incremento de la capacidad de abstracción del hombre o como una expansión de la materia estudiada. Los primeros conceptos abstractos utilizados por el hombre, aunque también por muchos animales,[10]​ fueron probablemente los números. Esta noción nació de la necesidad de contar los objetos que nos rodeaban.

Desde el comienzo de la historia, las principales disciplinas matemáticas surgieron de la necesidad del hombre de hacer cálculos con el fin de controlar los impuestos y el comercio, comprender las relaciones entre los números, la medición de terrenos y la predicción de los eventos astronómicos. Estas necesidades están estrechamente relacionadas con las principales propiedades que estudian las matemáticas — la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio. Desde entonces, las matemáticas han tenido un profuso desarrollo y se ha producido una fructífera interacción entre las matemáticas y la ciencia, en beneficio de ambas. Diversos descubrimientos matemáticos se han sucedido a lo largo de la historia y se continúan produciendo en la actualidad.

Además de saber contar los objetos físicos, los hombres prehistóricos también sabían cómo contar cantidades abstractas como el tiempo (días, estaciones, años, etc.) Asimismo empezaron a dominar la aritmética elemental (suma, resta, multiplicación y división).

Un quipu, utilizado por los Incas para registrar los números.

Los siguientes avances requirieron la escritura o algún otro sistema para registrar los números, tales como los tallies o las cuerdas anudadas —denominadas quipu —, que eran utilizadas por los Incas para almacenar datos numéricos. Los sistemas de numeración han sido muchos y diversos. Los primeros escritos conocidos que contienen números fueron creados por los egipcios en el Imperio Medio, entre ellos se encuentra el Papiro de Ahmes. La Cultura del valle del Indo desarrolló el moderno sistema decimal, junto con el concepto de cero.

Los antiguos babilonios utilizaban el sistema sexagesimal, escala matemática que tiene por base el número sesenta. De este sistema la humanidad heredó la división actual del tiempo: el día en veinticuatro horas - o en dos períodos de doce horas cada uno -, la hora en sesenta minutos y el minuto en sesenta segundos. Los árabes proporcionaron a la cultura europea su sistema de numeración, que reemplazó a la numeración romana. Este sistema prácticamente no se conocía en Europa antes de que el matemático Leonardo Fibonacci lo introdujera en 1202 en su obra Liber abbaci (Libro del ábaco). En un principio los europeos tardaron en reaccionar, pero hacia finales de la Edad Media habían aceptado el nuevo sistema numérico, cuya sencillez estimuló y alentó el progreso de la ciencia.

Los números mayas del 0 al 19.

Los mayas desarrollaron una avanzada civilización precolombina, con avances notables en la matemática, empleando el concepto del cero, y en la astronomía, calculando con bastante precisión los ciclos celestes.

Grandes matemáticos de la historia

Algunos de los matemáticos más emblemáticos han sido:

Inventor del Teorema de Tales, que establece que, si a un triángulo cualquiera le trazamos una paralela a cualquiera de sus lados, obtenemos dos triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados son proporcionales, es decir, que la igualdad de los cocientes equivale al paralelismo. Este teorema establece así una relación entre el álgebra y la geometría.
  • Pitágoras: (582-500 a. C.). Fundador de la escuela pitagórica, cuyos principios se regían por el amor a la sabiduría, a las matemáticas y música.
Inventor del Teorema de Pitágoras, que establece que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados del triángulo menores que la hipotenusa y que conforman el ángulo recto). Además del teorema anteriormente mencionado, también invento una tabla de multiplicar.
  • Euclides: (aproximadamente 365-300 a. C.). Sabio griego, cuya obra "Elementos de Geometría" está considerada como el texto matemático más importante de la historia.
Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:
- La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
- En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.
  • Arquímedes: (287-212 a. C.). Fue el matemático más importante de la Edad Antigua. También conocido por una de sus frases: "Eureka, eureka, lo encontré". Su mayor logro fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe. Su principio más conocido fue el Principio de Arquímedes, que consiste en que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido que desaloja.
  • Fibonacci: (1170-1240). Matemático italiano que realizó importantísimas aportaciones en los campos matemáticos del álgebra y la teoría de números. Descubridor de la Sucesión de Fibonacci, que consiste es una sucesión infinita de números naturales.
  • René Descartes: (1596-1650). Matemático francés, que escribió una obra sobre la teoría de las ecuaciones, en la cual se incluía la regla de los signos, para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Inventó una de las ramas de las matemáticas, la geometría analítica.
  • Isaac Newton: (1643-1727). Matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica. Abordó el teorema del binomio, a partir de los trabajos de John Wallis, y desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones. Abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones.
  • Gottfried Leibniz: (1646-1716). Matemático alemán, desarrolló, con independencia de Newton, el cálculo infinitesimal. Creó la notación y el corpus conceptual del cálculo que se usa en la actualidad. Realizó importantes aportaciones en el campo de la teoría de los números y la geometría analítica.
  • Galileo Galilei: (1564-1642). Matemático italiano, cuyo principal logro fue el crear un nexo de unión entre las matemáticas y la mecánica. Fue el descubridor de la ley de la isocronía de los péndulos. Se inspira en Pitágoras, Platón y Arquímedes y fue contrario a Aristóteles.
  • Blaise Pascal: (1623-1662). Matemático francés que formuló uno de los teoremas básicos de la geometría proyectiva, que se denominó como Teorema de Pascal y que él mismo llamo Teoría matemática de la probabilidad.
  • Leonhard Euler: (1707-1783). Matemático suizo que realizó importantes descubrimientos en el campo del cálculo y la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática.
  • Paolo Ruffini: (1765-1822). Matemático italiano que estableció las bases de la teoría de las transformaciones de ecuaciones, descubrió y formuló la regla del cálculo aproximado de las raíces de las ecuaciones, y su más importante logro, inventó lo que se conoce como Regla de Ruffini, que permite hallar los coeficientes del resultado de la división de un polinomio por el binomio (x - r).
  • Joseph-Louis de Lagrange: (1736-1813). Matemático franco-italiano, considerado como uno de los más importantes de la historia, realizó importantes contribuciones en el campo del cálculo y de la teoría de los números. Fue el padre de la mecánica analítica, a la que dio forma diferencial, creó la disciplina del análisis matemático, abrió nuevos campos de estudio en la teoría de las ecuaciones diferenciales y contribuyó al establecimiento formal del análisis numérico como disciplina.
  • Carl Friedrich Gauss: (1777-1855). Matemático alemán al que se le conoce como "el príncipe de las matemáticas". Ha contribuido notablemente en varias áreas de las matemáticas, en las que destacan la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial. Fue el primero en probar rigurosamente el Teorema Fundamental del Álgebra. Inventó lo que se conoce como Método de Gauss, que lo utilizó para resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
  • Augustin Louis Cauchy: (1789-1857). Matemático francés, pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos. Ofreció la primera definición formal de función, límite y continuidad. También trabajó la teoría de los determinantes, probabilidad, el cálculo complejo, y las series.
  • Jean-Baptiste Joseph Fourier: (1768-1830). Matemático francés. Estudió la transmisión de calor, desarrollando para ello la Transformada de Fourier; de esta manera, extendió el concepto de función e introdujo una nueva rama dentro de la teoría de las ecuaciones diferenciales.

Influencia en la astronomía moderna

El astrónomo Tycho Brahe anotó minuciosamente durante largo tiempo observaciones planetarias. Cuando leyó El misterio cosmográfico, quedó impresionado con la percepción matemática y astronómica de Kepler y le invitó a trabajar con él en Benatky, localidad cercana a Praga. Al verse obligado a tener que abandonar Graz debido a la intolerancia religiosa, Kepler aceptó la invitación. Al fallecer Brahe, Kepler le sucedió como matemático imperial de Rodolfo II y analizó las medidas sobre la posición de los planetas. Las medidas del movimiento de Marte, en particular de su movimiento retrógrado, fueron esenciales para que pudiera formular las tres leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas. Posteriormente, estas leyes sirvieron de base a la ley de gravitación universal de Newton.

Crisis históricas

La matemática ha pasado por tres crisis históricas importantes:[11]​

  1. El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos, la existencia de los números irracionales que de alguna forma debilitó la filosofía de los pitagóricos.
  2. La aparición del cálculo en el siglo XVII, con el temor de que fuera ilegítimo manejar infinitesimales.
  3. El hallazgo de las antinomias, como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX, que atacaban los mismos cimientos de la materia.

La inspiración, las matemáticas puras y aplicadas y la estética

Artículo principal: Belleza matemática
Sir Isaac Newton (1643-1727), comparte con Leibniz la autoría del desarrollo del cálculo integral y diferencial

Las matemáticas surgen cuando hay problemas difíciles en los que intervienen la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio de los objetos. Al principio, las matemáticas se encontraban en el comercio, en la medición de los terrenos y, posteriormente, en la astronomía. Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemáticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemáticas. Por ejemplo, el físico Richard Feynman inventó la integral de caminos de la mecánica cuántica, combinando el razonamiento matemático y el enfoque de la física. Hoy la teoría de las cuerdas, una teoría científica en desarrollo que trata de unificar las cuatro fuerzas fundamentales de la física, sigue inspirando a las más modernas matemáticas.[12]​ Algunas matemáticas solo son relevantes en el área en la que estaban inspiradas y son aplicadas para otros problemas en ese campo. Sin embargo, a menudo las matemáticas inspiradas en un área concreta resultan útiles en muchos ámbitos, y se incluyen dentro de los conceptos matemáticos generales aceptados. El notable hecho de que incluso la matemática más pura habitualmente tiene aplicaciones prácticas es lo que Eugene Wigner ha definido como la irrazonable eficacia de las matemáticas en las Ciencias Naturales.[13]​

Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión de los conocimientos en la era científica ha llevado a la especialización de las matemáticas. Hay una importante distinción entre las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas. La mayoría de los matemáticos que se dedican a la investigación se centran únicamente en una de estas áreas y, a veces, la elección se realiza cuando comienzan su licenciatura. Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han fusionado con otras areas tradicionalmente fuera de las matemáticas y se han convertido en disciplinas independientes, como pueden ser la estadística, la investigación de operaciones o la informática.

Aquellos que sienten predilección por las matemáticas, consideran que prevalece un aspecto estético que define a la mayoría de las matemáticas. Muchos matemáticos hablan de la elegancia de la matemática, su intrínseca estética y su belleza interna. En general, uno de sus aspectos más valorados es la simplicidad. Hay belleza en una simple y contundente demostración, como la demostración de Euclides de la existencia de infinitos números primos, y en un elegante análisis numérico que acelera el cálculo, así como en la transformada rápida de Fourier. G. H. Hardy en A Mathematician's Apology (Apología de un matemático) expresó la convicción de que estas consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras.[14]​ Los matemáticos con frecuencia se esfuerzan por encontrar demostraciones de los teoremas que son especialmente elegantes, el excéntrico matemático Paul Erdős se refiere a este hecho como la búsqueda de pruebas de "El Libro" en el que Dios ha escrito sus demostraciones favoritas.[15]​[16]​ La popularidad de la matemática recreativa es otra señal que nos indica el placer que produce resolver las preguntas matemáticas.

Notación, lenguaje y rigor

Leonhard Euler. Probablemente el más prolífico matemático de todos los tiempos
Artículo principal: Notación matemática

La mayor parte de la notación matemática que se utiliza hoy en día no se inventó hasta el siglo XVIII.[17]​ Antes de eso, las matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limita el avance matemático. En el siglo XVIII, Euler, fue responsable de muchas de las notaciones empleadas en la actualidad. La notación moderna hace que las matemáticas sean mucho más fácil para los profesionales, pero para los principiantes resulta complicada. La notación reduce las matemáticas al máximo, hace que algunos símbolos contengan una gran cantidad de información. Al igual que la notación musical, la notación matemática moderna tiene una sintaxis estricta y codifica la información que sería difícil de escribir de otra manera.

El símbolo de infinito en diferentes tipografías.

El lenguaje matemático también puede ser difícil para los principiantes. Palabras tales como o y sólo tiene significados más precisos que en lenguaje cotidiano. Además, palabras como abierto y cuerpo tienen significados matemáticos muy concretos. La jerga matemática, o lenguaje matematico, incluye términos técnicos como homeomorfismo o integrabilidad. La razón que explica la necesidad de utilizar la notación y la jerga es que el lenguaje matemático requiere más precisión que el lenguaje cotidiano. Los matemáticos se refieren a esta precisión en el lenguaje y en la lógica como el "rigor".

El rigor es una condición indispensable que debe tener una demostración matemática. Los matemáticos quieren que sus teoremas a partir de los axiomas sigan un razonamiento sistemático. Esto sirve para evitar teoremas erróneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la historia de esta ciencia.[18]​ El nivel de rigor previsto en las matemáticas ha variado con el tiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, pero en tiempos de Isaac Newton los métodos empleados eran menos rigurosos. Los problemas inherentes de las definiciones que Newton utilizaba dieron lugar a un resurgimiento de un análisis cuidadoso y a las demostraciones oficiales del siglo XIX. Ahora, los matemáticos continúan apoyándose entre ellos mediante demostraciones asistidas por ordenador.[19]​

Un axioma se interpreta tradicionalmente como una "verdad evidente", pero esta concepción es problemática. En el ámbito formal, un axioma no es más que una cadena de símbolos, que tiene un significado intrínseco sólo en el contexto de todas las fórmulas derivadas de un sistema axiomático.

La matemática como ciencia

Carl Friedrich Gauss, apodado el "príncipe de los matemáticos", se refería a la matemática como "la reina de las ciencias".

Carl Friedrich Gauss se refería a la matemática como "la reina de las ciencias".[20]​ Tanto en el latín original Scientiarum Regina, así como en alemán Königin der Wissenschaften, la palabra ciencia debe ser interpretada como (campo de) conocimiento. Si se considera que la ciencia es el estudio del mundo físico, entonces las matemáticas, o por lo menos matemáticas puras, no son una ciencia.

Muchos filósofos creen que las matemáticas no son experimentalmente falseables, y, por tanto, no es una ciencia según la definición de Karl Popper.[21]​ No obstante, en la década de 1930 una importante labor en la lógica matemática demuestra que las matemáticas no puede reducirse a la lógica, y Karl Popper llegó a la conclusión de que "la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de física y biología, hipotético-deductivas. Por lo tanto, las matemáticas puras se han vuelto más cercanas a las ciencias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, así ha sido hasta ahora".[22]​ Otros pensadores, en particular Imre Lakatos, han solicitado una versión de Falsacionismo para las propias matemáticas.

Una visión alterantiva es que determinados campos científicos (como la física teórica) son matemáticas con axiomas que pretenden corresponder a la realidad. De hecho, el físico teórico, J. M. Ziman, propone que la ciencia es conocimiento público y, por tanto, incluye a las matemáticas.[23]​ En cualquier caso, las matemáticas tienen mucho en común con muchos campos de las ciencias físicas, especialmente la exploración de las consecuencias lógicas de las hipótesis. La intuición y la experimentación también desempeñan un papel importante en la formulación de conjeturas en las matemáticas y las otras ciencias. Las matemáticas experimentales siguen ganando representación dentro de las matemáticas. El cálculo y simulación están jugando un papel cada vez mayor tanto en las ciencias como en las matemáticas, atenuando la objeción de que las matemáticas se sirven del método científico. En 2002 Stephen Wolfram sostiene, en su libro Un nuevo tipo de ciencia, que la matemática computacional merece ser explorada empíricamente como un campo científico.

Las opiniones de los matemáticos sobre este asunto son muy variadas. Muchos matemáticos consideran que llamar a su campo ciencia es minimizar la importancia de su perfil estético, además supone negar su historia dentro de las siete artes liberales. Otros consideran que hacer caso omiso de su conexión con las ciencias supone ignorar la evidente conexión entre las matemáticas y sus aplicaciones en la ciencia y la ingeniería, que ha impulsado considerablemente el desarrollo de las matemáticas. Otro asunto de debate, que guarda cierta relación con el anterior, es si la matemática fue creada (como el arte) o descubierta (como la ciencia). Este es uno de los muchos temas de incumbencia de la filosofía de las matemáticas.

Los premios matemáticos se mantienen generalmente separados de sus equivalentes en la ciencia. El más prestigioso premio dentro de las matemáticas es la Medalla Fields,[24]​[25]​ fue instaurado en 1936 y se concede cada 4 años. A menudo se le considera el equivalente del Premio Nobel para la ciencia. Otros premios son el Premio Wolf en matemática, creado en 1978, que reconoce el logro en vida de los matemáticos, y el Premio Abel, otro gran premio internacional, que se introdujo en 2003. Estos dos últimos se conceden por un excelente trabajo, que puede ser una investigación innovadora o la solución de un problema pendiente en un campo determinado. Una famosa lista de esos 23 problemas sin resolver, denominada los "Problemas de Hilbert", fue recopilada en 1900 por el matemático alemán David Hilbert. Esta lista ha alcanzado gran popularidad entre los matemáticos y, al menos, nueve de los problemas ya han sido resueltos. Una nueva lista de siete problemas fundamentales, titulada "Problemas del milenio", se publicó en 2000. La solución de cada uno de los problemas será recompensada con 1 millón de dólares. Curiosamente, tan solo uno (la Hipótesis de Riemann) aparece en ambas listas.

Ramas

Las numerosas ramas de la matemática están muy interrelacionadas. En una subdivisión amplia de las matemáticas, se distinguen cuatro objetos de estudio básicos: la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio.

  • Los diferentes tipos de cantidades (números) han jugado un papel obvio e importante en todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del desarrollo de la cultura, la ciencia y la tecnología.
  • El estudio de la estructura comienza al considerar las diferentes propiedades de los números, inicialmente los números naturales y los números enteros. Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. Después, la organización de conocimientos elementales produjo los sistemas axiomáticos (teorías), permitiendo el descubrimiento de conceptos estructurales que en la actualidad dominan esta ciencia (e.g. estructuras categóricas). La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio.
  • El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría. En su faceta avanzada el surgimiento de la topología da la necesaria y correcta manera de pensar acerca de las nociones de cercanía y continuidad de nuestras concepciones espaciales.
Derivada.

La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y del cálculo. Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, se estudian las ecuaciones diferenciales y de sus soluciones. Los números usados para representar las cantidades continuas son los números reales. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función matemática. Los conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton y Leibniz, representan un papel clave en este estudio, que se denomina Análisis. Es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al análisis complejo. El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto.

Un campo importante en matemática aplicada es el de la estadística, que permite la descripción, el análisis de probabilidad y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias.

El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.

A continuación se muestra una lista de las ramas interrelacionadas de las matemáticas:

Fundamentos y métodos
Teoría de conjuntos, lógica matemática, teoría de categorías.
Investigación operativa
Teoría de grafos, teoría de juegos, programación entera, programación lineal, Simulación, optimización, método simplex, programación dinámica.
Números
Números naturales, números enteros, números racionales, números irracionales, número reales, números complejos, cuaterniones, octoniones, sedeniones, números hiperreales, números infinitos, dígito, sistema de numeración, número p-ádico.
Análisis, continuidad y cambio
Cálculo, cálculo vectorial, análisis, ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y teoría del caos, funciones, logaritmo, sucesiones, series, análisis real, Análisis complejo, análisis funcional, álgebra de operadores.
Estructuras
Algebra abstracta, teoría de números, álgebra conmutativa, geometría algebraica, teoría de grupos, monoides, análisis, topología, álgebra lineal, teoría de grafos, teoría de categorías.
Espacios
Topología, geometría, teoría de haces, geometría algebraica - Geometría diferencial - Topología diferencial - Topología algebraica - Álgebra lineal - Cuaterniones y rotación en el espacio
Matemática discreta
Combinatoria, Teoría de conjuntos numerables - Probabilidad discreta - Estadística - Teoría de la computación - Criptografía - Teoría de grafos - Teoría de juegos
Matemática aplicada
Estadística, física matemática, matemática financiera, teoría de juegos, optimización, análisis numérico, Lógica difusa.

Conceptos erróneos

Lo que cuenta como conocimiento en matemática no se determina mediante experimentación, sino mediante demostraciones. No es la matemática, por lo tanto, una rama de la física (la ciencia con la que históricamente se encuentra más emparentada), puesto que la física es una ciencia empírica. Por otro lado, la experimentación desempeña un papel importante en la formulación de conjeturas razonables, por lo que no se excluye a ésta de la investigación en matemáticas.

La matemática no es un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya esté hecho. Aún existen gran cantidad de problemas esperando solución, así como una infinidad esperando su formulación.

Matemática no significa contabilidad. Si bien los cálculos aritméticos son importantes para los contables, los avances en matemática abstracta difícilmente cambiarán su forma de llevar los libros.

Matemática no significa numerología. La numerología es una pseudociencia que utiliza la aritmética modular para pasar de nombres y fechas a números a los que se les atribuye emociones o significados esotéricos, basados en la intuición.

El lenguaje formal no es una simple extensión de los lenguajes naturales humanos que utiliza una gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relaciones conceptuales y físicas. Recientemente, los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una dirección diferente: los lenguajes naturales (como el español o el francés, por ejemplo) y los lenguajes formales (como el matemático o los lenguajes de programación) son estructuras de naturaleza básicamente diferente.

Véase también

Referencias

  1. ↑ En la antigüedad nadie hizo un retrato o una descripción de la apariencia física de Euclides mientras estaba vivo. Por lo tanto, la representación de Euclides en las obras de arte varía en función de la imaginación de cada artista (véase Euclides).
  2. ↑ Plantilla:Ref DRAE
  3. ↑ Steen, LA (29 de abril de 1988). Mathematics:The Science of Patterns (Scientific American Library, 1994) Science, 240: 611-616.
  4. ↑ Keith Devlin (1996). Matemáticas: La ciencia de los patrones: La búsqueda de la Orden en la vida, la mente y el Universo. Scientific American. ISBN 9780716750475. 
  5. ↑ Jourdain
  6. ↑ Peirce, p.97
  7. ↑ Einstein, p. 15. La cita es la respuesta de Einstein a la pregunta: "¿Cómo puede ser que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, estén tan admirablemente adaptadas a los objetos de la realidad? [1]"
  8. ↑ Peterson
  9. ↑ Heath, Thomas (1921). A History of Greek Mathematics. Oxford, Clarendon Press. OCLC 2014918. 
  10. ↑ S. Dehaene, Dehaene-Lambertz G. y L. Cohen, Resumen de los números de las representaciones en el cerebro humano y animal,Tendencias en Neurociencias, vol. 21 (8), agosto de 1998, 355-361. http://dx.doi.org/10.1016/S0166-2236 (98) 01263-6.
  11. ↑ El dedo de Galileo. Peter Atkins. En Espasa Calpe-2003
  12. ↑ Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002). Oxford University Press, ed. The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus. 
  13. ↑ Eugene Wigner, 1960, "La irracional eficacia de las matemáticas en la de Ciencias Exactas y Naturales" Communications on Pure and Applied Mathematics13 '(1): 1-14.
  14. ↑ Hardy, GH (1940). A Mathematician's Apology.  Parámetro desconocido |= ignorado (ayuda)
  15. ↑ Oro, Bonnie; Simons, A. Rogers (2008). MAA, ed. Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy. 
  16. ↑ Aigner, Martin; Ziegler, M. Gunter (2001). Proofs from the Book. 
  17. ↑ Utilización de diversos símbolos matemáticos (Véase Anexo:Símbolos matemáticos)
  18. ↑ Véase falsa demostración para comprobar mediante ejemplos sencillos los errores que se pueden cometer en una demostración oficial. El teorema de los cuatro colores contiene ejemplos de demostraciones falsas aceptadas accidentalmente por otros matemáticos del momento.
  19. ↑ Ivars Peterson,La matemática turística, Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Algunos se quejan de que el programa de ordenador no puede ser verificado correctamente," (en referencia a la Haken de Apple la prueba de color Teorema de los Cuatro).
  20. ↑ Waltershausen
  21. ↑ Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Fuera de su mente: La vida y de 15 de los Grandes Descubrimientos científicos. p. 228. 
  22. ↑ Popper 1995, p. 56
  23. ↑ Ziman
  24. ↑ «Actualmente la Medalla Fields es sin duda el mejor y el más influyente premio en las matemáticas». Monastyrsky
  25. ↑ Riehm

Bibliografía

Enlaces externos

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